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Bases de Filtro (1)

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Sea un conjunto no vacío y sea el conjunto de todas sus partes (subconjuntos). Una clase no vacía de partes de es una familia fundamental sobre si para para cualesquiera y pertenecientes a existe al menos un elemento de tal que , siendo no vacío si la intersección es no vacía.
Es decir, una familia fundamental se caracteriza porque la intersección de dos cualesquiera de sus elementos contiene a otro de sus elementos y si tal intersección es no vacía, entonces el elemento de la familia contenido en la intersección es también no vacío. Obsérvese que si es una familia fundamental que no contiene al vacío, entonces es también una familia fundamental. En efecto, ahora las intersecciones vacías se obtienen de la forma , donde o o ambos son vacíos y, obviamente, el vacío está incluido en dicha intersección.

Un tipo especialmente importante de familia fundamental es la base de filtro. Una familia fundamental sobre es una base de filtro sobre si no contiene al vacío. Si es una base de filtro sobre , entonces es claro que la intersección de dos cualesquiera de sus elementos ha de contener a un tercero de ellos no vacío. Por tanto, la intersección de elementos de la familia no es nunca vacía.

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