Archivos Mensuales: abril 2013

Las sucesiones binarias y la cardinalidad del continuo (1)

Sea \mathcal{P}(\mathbb{N}) el sistema de todos los posibles subconjuntos de \mathbb{N} y sea \Xi el conjunto de todas las posibles sucesiones binarias. Probaremos que :
(a) los conjuntos \Xi y \mathcal{P}(\mathbb{N}) tienen la misma cardinalidad.
(b) Los conjuntos \Xi y \Xi \times \Xi tienen la misma cardinalidad.
(a) Sean A y B dos conjuntos no vacíos. El conjunto de todas las aplicaciones f:A \rightarrow B, se notará por B^{A}. De acuerdo con este convenio, el conjunto \Xi de todas las sucesiones binarias se puede denotar por \{0,1 \}^{\mathbb{N}} y así lo haremos de ahora en adelante. Sea A un subconjunto de \mathbb{N}. La aplicación
\chi_{A} : \mathbb{N} \rightarrow \{0, 1 \}
dada por \chi_{A}(n) = \left\{ \begin{array}{c}  0, \quad \text{si} \quad n \notin A \\  1, \quad \text{si} \quad n \in A \\  \end{array}  \right.
está bien definida y se trata de un elemento de \{0,1 \}^{\mathbb{N}}. Probaremos que la aplicación
\theta : \mathcal{P}(\mathbb{N}) \rightarrow \{0,1 \} ^{\mathbb{N}}que asigna a cada subconjunto A de \mathbb{N}, la aplicación \chi_{A}, es una biyección. En efecto, supongamos que A y B son subconjuntos diferentes de \mathbb{N}. Entonces existe r \in A tal que r \notin B o bien existe m \in B tal que m \notin A. En el primer caso, \chi_{A}(r)=1 pero \chi_{B}(r)=0 y, por tanto, \chi_{A} \neq \chi_{B} y en el segundo caso \chi_{A}(m)= 0 pero \chi_{B}(m)=1 por lo que \chi_{A} \neq \chi_{B}. Esto significa que \theta es inyectiva. Probaremos que también es sobreyectiva. Sea f una aplicación cualquiera de \mathbb{N} en \{0, 1 \} . El conjunto f^{-1}(1)= \{n \in \mathbb{N} : f(n)=1 \} está bien definido y resulta ser un subconjunto de \mathbb{N} para el que trivialmente \chi_{A} = f. La biyección \theta nos muestra que \{0,1 \}^{\mathbb{N}} y  \mathcal{P}(\mathbb{N}) tienen la misma cardinalidad.

(b). Sean (a_{n}) y (b_{n}) dos sucesiones binarias. Formamos la sucesión (c_{n}) mediante
c_{n} = \left\{ \begin{array}{l}  a_{\frac{n+1}{2}}, \quad \text{si} \quad n \quad \text{es impar} \\  b_{\frac{n}{2}}, \quad \text{si} \quad n \quad \text{es par} \\  \end{array}  \right.
Es decir
(c_{n}) =(a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3}, \ldots, a_{n}, b_{n}, \ldots ).
Es claro que (c_{n}) es una sucesión binaria. La aplicación
h: \{0,1 \}^{\mathbb{N}} \times \{0, 1\}^{\mathbb{N}} \rightarrow \{0, 1\}^{\mathbb{N}},
tal que h((a_{n}), (b_{n})) = (c_{n}) es una biyección.

En efecto, sean (a_{n}), (b_{n}), (a'_{n}), (b'_{n}) sucesiones binarias y supongamos que ((a_{n}), (b_{n})) \neq ((a'_{n}), (b'_{n})). Entonces puede suceder que (a_{n}) \neq (a'_{n}) y hallaríamos un n_{0} \in \mathbb{N} para el (a_{1}, b_{1}, \ldots, a_{n_{0}}, b_{n_{0}}, \ldots ) \neq (a'_{1}, b'_{1}, \ldots, a'_{n_{0}}, b'_{n_{0}}, \ldots ).

El mismo razonamiento es aplicable para el caso en que (b_{n}) \neq (b'_{n}). Así pues, h es inyectiva. Sea ahora (e_{n}) una sucesión binaria. Consideremos las subsucesiones
(e_{2n-1}), (e_{2n}).
Es inmediato que h((e_{2n-1}), (e_{2n})) = (e_{n}). Esto significa que h es también sobreyectiva y termina la demostración.

El apartado (a) nos muestra que el cardinal de las partes de \mathbb{N} coincide con el cardinal de las sucesiones binarias. Este hecho nos sirve de puente para probar que el cardinal del conjunto de las partes de \mathbb{N} es el cardinal del continuo (es decir, del conjunto de los números reales).  Demostraremos este hecho en una posterior entrada.

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Sucesiones en la recta ampliada. Límites superior e inferior (4)

Una vez definidos los límites superior e inferior de una sucesión de números de la recta real ampliada, vamos a ver algunas de sus propiedades.

a) \lim \inf a_n = \lim_{n} \inf \{a_k : k \geq n \}.

b) \lim \sup a_n = \lim_{n} \sup \{a_k : k \geq n \}.

c) \inf \{a_n : n \in \mathbb{N} \} \leq \lim \inf a_n \leq \lim \sup a_n \leq \sup \{a_n : n \in \mathbb{N} \}.

d) \lim \inf a_n = -\lim \sup (-a_{n}).

Pasamos a demostrar una a una estas propiedades. El lector debe recordar las definiciones de límite superior e inferior dadas en el anterior post y también las propiedades del supremo e ínfimo de un conjunto en la recta ampliada.

a) La sucesión

t_n = \inf \{a_k : k \geq n \}

de los ínfimos de las secciones finales de la sucesión (a_n) es creciente. Por tanto, hallaremos que existe y es único el valor \sup \{t_n : n \in \mathbb{N} \} = \lim \inf a_n.  Supongamos que dicho supremo es un número real (es decir que no es \infty o -\infty).  Dado dado \epsilon >0, la definición de supremo nos lleva a hallar un entero positivo N para el que \lim \inf a_n - \epsilon < t_N.  Pero (t_n) es una sucesión creciente por lo que  \lim \inf a_n - \epsilon < t_n si n \geq N. En definitiva, reescribiendo la desigualdad

\lim \inf a_n - t_n < \epsilon, si n \geq N.

Ahora bien, recordemos que \lim \inf a_n es el supremo de los t_n. Por ello la diferencia  \lim \inf a_{n} - t_{n} es positiva y obtenemos

| \lim \inf a_n - t_n | < \epsilon, si n \geq N.

Esto prueba que \lim \inf a_n = \lim t_n = \lim_n \inf \{a_k : k \geq n \}.  Si suponemos que

\sup \{ t_n : n \in \mathbb{N} \} = \lim \inf a_n = \infty,

entonces la sucesión (t_n) no está acotada superiormente. Pero es creciente por lo que

\infty = \lim \inf a_n = \lim t_n = \lim_n \inf \{ a_k : k \geq n \}.

En el caso de que \lim \inf a_n = - \infty, resultará que el supremo de los t_n será -\infty por lo que todos ellos habrán de ser iguales a -\infty, y, trivialmente

-\infty = \lim \inf a_n = \lim t_n = \lim_n \inf \{a_k : k \geq n \}.

La prueba de (b) es similar.

c) Como la sucesión t_n es creciente, resulta
t_1 = \inf \{ a_{n} : n \in \mathbb{N} \} \leq \sup \{t_{n} : n \in \mathbb{N} \} = \lim \inf a_{n}.
Por otro lado, la sucesión
T_{n} = \sup \{ a_{k} : k \geq n \}, \quad n=1,2, \ldots
es decreciente y, en consecuencia,
\lim \sup a_{n} =\inf \{ T_{n} : \in \mathbb{N} \} \leq \sup \{ a_{n} : n \in \mathbb{N} \}.
Para acabar, tenemos que t_{n} \leq T_{n} para todo n, lo cual combinado con el carácter creciente de (t_n) y el decreciente de (T_n) nos lleva a
t_{1} \leq t_{2} \leq \ldots \leq t_n \leq \ldots \leq T_n \leq \ldots \leq T_{2} \leq T_1.
Por tanto,
\lim \inf a_{n} = \sup \{t_n : n \in \mathbb{N} \} \leq \inf \{T_n : n \in \mathbb{N} \} = \lim \sup a_n.

d) Sabemos que si A es un subconjunto no vacío de la recta ampliada, entonces

\sup A= -\inf (-A).
Por tanto,
\lim \inf a_{n} = \sup_{n} \{ \inf \{a_{k}: k \geq n \} \} = -\inf_{n}\{ -\inf \{a_{k}: k \geq n \} \} = -\inf_{n}\{ \sup \{-a_{k}: k \geq n \} \} = -\lim \sup (-a_n).

Sucesiones en la recta ampliada. Límites superior e inferior (3)

Consideremos una sucesión cualquiera (a_n) en la recta real ampliada. Las secciones finales de dicha sucesión son los conjuntos

S_{n} = \{ a_{k} : k \geq n \} .

Dichos conjuntos son no vacíos y son subconjunto de \overline{\mathbb{R}}. Además por su construcción verifican la cadena de inclusiones

S_1 \supset S_2 \supset S_3 \ldots \supset S_n \supset S_{n+1} \supset \ldots .

Por otro lado, sabemos que existen sus supremos e ínfimos, permitiendo definir sucesiones nuevas:

t_n = \inf S_n, T_{n}= \sup S_n.

La cadena de inclusiones de las secciones finales permite concluir que la sucesión (t_n) es creciente y la sucesión (T_n) es decreciente. Basta aplicar ahora el teorema que garantiza la existencia de límite para sucesiones monótonas para obtener los límites:

\lim_n t_n, \lim_n T_n.

Pero como hemos probado en el apartado (2) de esta colección de posts, resulta que

\lim_n t_n = \sup \{t_n : n \in \mathbb{N} \} = \sup_n \{ \inf \{a_k : k \geq n \}\} = \lim \inf a_n.

\lim_n T_n = \inf \{ T_n : n \in \mathbb{N} \} = \inf_{n} \{ \sup \{a_k : k \geq n \} \} = \lim \sup a_n.

Estos son los límites superior e inferior, respectivamente, de la sucesión (a_n) y su existencia está garantizada sólo en la recta ampliada. En siguientes entregas veremos más propiedades de estos límites y sus aplicaciones en algunas ramas del cálculo.

Sucesiones en la recta ampliada. Límites superior e inferior (2)

Una de las principales facilidades que nos da la recta real ampliada es la de extender la existencia de supremos e ínfimos. Sabemos que el axioma de completitud de la recta real nos permite afirmar que todo subconjunto no vacío de números reales que esté acotado superiormente tiene una cota superior mínima, a la que llamamos supremo (y también todo conjunto no vacío acotado inferiormente tiene cota inferior máxima o ínfimo).  La importancia de este hecho es crucial pues distingue al cuerpo ordenado de los reales del cuerpo ordenado de los racionales.

En la recta ampliada todo conjunto tiene supremo e ínfimo. Convenimos en que si es vacío su supremo es -\infty y su ínfimo +\infty. Si no está acotado superiormente su supremo es +\infty y si no está acotado inferiormente su ínfimo es -\infty. Estos convenios también afectan a las sucesiones pues también podemos probar que toda sucesión monótona converge en la recta ampliada.  Lo haremos para el caso de una sucesión monótona decreciente.

Consideremos ahora una sucesión (b_{n}) en \mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \}. Si existe un entero positivo n_{0}, para el que b_{n+1} \leq b_{n}, siempre que n \geq n_{0}, entonces (b_{n}) es decreciente. Sea B =\{ b_{n} : n \geq n_{0} \} . Si -\infty \in B, entonces todos los términos posteriores a este serán también iguales a -\infty y, en consecuencia, su límite será también -\infty = \inf \{b_{n} : n \geq n_{0} \}. Supongamos pues que -\infty no pertenece a B. En tal caso, si existe algún b_{n} \in B para el que b_{n} \neq \infty y B está acotado inferiormente, sabemos que tendrá límite finito y que será l= \inf B. Si existe algún b_{n} \in B para el que b_{n} \neq \infty y B no está acotado inferiormente, entonces dado K <0, hallaremos r \geq n_{0}, tal que b_{r} < K. Pero como (b_{n}) es decreciente esto implica que
b_{n} < K, \quad \text{si} \quad n \geq r.
Es decir, \lim b_{n} = -\infty = \inf B.
Si todos los elementos de B son \infty, entonces trivialmente concluimos que \lim b_{n} = \infty = \inf B. En todos los caso, resulta que
\lim b_{n} = \inf B.

Sucesiones en la recta ampliada. Límites superior e inferior (1)

La recta ampliada es el conjunto de los números reales junto con dos símbolos -\infty, +\infty. El orden usual en los reales se extiende a la recta ampliada mediante

-\infty < x <+\infty, para todo x real.

La recta ampliada no es un cuerpo . En efecto, no todas las operaciones están definidas. En particular, las sumas del tipo

-\infty+\infty

no están definidas. En cuanto al resto de operaciones en las que aparecen los símbolos de infinito se adoptan diversos convenios. Nosotros usamos los empleados en teoría de la medida. Si x es un número real, entonces

Imagen

Obsérvese que cero por infinito o menos infinito da cero (en contra de lo que se conviene a la hora de calcular límites de funciones reales). Se suele escribir \overline{\mathbb{R}} para denotar a la recta ampliada.  El orden en la recta ampliada es total pero no es compatible con las operaciones. En efecto,  dados x e y, reales, tales que x <y, si el orden fuera compatible con la suma, se tendría que \infty=\infty+x < \infty+y = \infty, lo cual es absurdo. Sin embargo, el orden total sí permite definir una topología de la forma usual. Es decir, la que tiene por base la familia de intervalos de la forma

\mathcal{F} = \{ (a,b), [-\infty, b), (a, +\infty]: a, b \in \overline{\mathbb{R}}, a \leq b \}.

Esto significa que cualquier abierto de dicha topología es unión de los elementos de \mathcal{F}. Por ejemplo, los siguientes conjuntos son abiertos: [- \infty, 0) , [-\infty, +\infty], (-\infty, +\infty), (0,1).