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Estructura de los anillos de Boole generados por una clase no vacía

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Supongamos que es una clase no vacía de partes de un conjunto . Denotamos por al anillo de Boole generado por dicha clase. Sabemos que dicho anillo siempre existe y es el mínimo en sentido inclusivo que contiene a la clase , pero ¿podemos dar alguna caracterización de cómo se forma? En principio, si la clase es un semianillo, sabemos que  es el conjunto de las uniones finitas disjuntas de elementos de   pero me temo que en el caso general no hay una forma clara de obtenerlo. El siguiente resultado esboza una forma que admito que no es muy práctica pero puede ser útil para algunos casos.

Sea la clase no vacía  . Llamaremos a dicha clase y supondremos que .  La clase es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de , la clase es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de y así sucesivamente. Obtenemos pues una sucesión recurrente de clases. Como es no vacía. Dado es un elemento de . Análogamente, si es un elemento de , entonces y así . En general,

.

Probaremos que la unión

es el anillo generado por . En primer lugar, es claro que

,

pues por definición y además todo anillo es cerrado para la unión finita y la diferencia de sus elementos. En segundo lugar, si y son elementos de , hallaremos que pertenecen a ciertos y de la sucesión creciente. Por tanto, si , ambos pertenecerán a . En consecuencia,

,

.

Esto prueba que es cerrado para la diferencia y la unión finita y, por tanto, es un anillo. Así pues

y esta inclusión junto con la anterior nos muestra que

.

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