Estructura de los anillos de Boole generados por una clase no vacía

Supongamos que \mathcal{M} es una clase no vacía de partes de un conjunto X. Denotamos por \mathcal{R}(\mathcal{M}) al anillo de Boole generado por dicha clase. Sabemos que dicho anillo siempre existe y es el mínimo en sentido inclusivo que contiene a la clase \mathcal{M}, pero ¿podemos dar alguna caracterización de cómo se forma? En principio, si la clase \mathcal{M} es un semianillo, sabemos que \mathcal{R}(\mathcal{M}) es el conjunto de las uniones finitas disjuntas de elementos de  \mathcal{M} pero me temo que en el caso general no hay una forma clara de obtenerlo. El siguiente resultado esboza una forma que admito que no es muy práctica pero puede ser útil para algunos casos.

Sea la clase no vacía  \mathcal{M}. Llamaremos H_0 a dicha clase y supondremos que \emptyset \in H_0.  La clase H_1 es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de H_0, la clase H_2 es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de H_1 y así sucesivamente. Obtenemos pues una sucesión recurrente H_n de clases. Como H_0 es no vacía. Dado A \in H_0 es A-\emptyset = A un elemento de H_1. Análogamente, si B es un elemento de H_1, entonces B-\emptyset = B \in H_2 y así H_0 \subset H_1 \subset H_2. En general,

H_0 \subset H_1 \subset H_2 \subset \ldots \subset H_n \subset H_{n+1} \subset \ldots .

Probaremos que la unión

S = \cup_{n=0}^{\infty} H_n

es el anillo generado por \mathcal{M}. En primer lugar, es claro que

\mathcal{M} \subset \cup_{n=0}^{\infty} H_n \subset \mathcal{R} (\mathcal{M}),

pues por definición H_0 = \mathcal{M} y además todo anillo es cerrado para la unión finita y la diferencia de sus elementos. En segundo lugar, si C y D son elementos de S, hallaremos que pertenecen a ciertos H_j y H_k de la sucesión creciente. Por tanto, si r = \max \{j,k \} , ambos pertenecerán a H_{ r }. En consecuencia,

C-D \in H_{r+1} \subset S,

C \cup D = (C- \emptyset) \cup (D- \emptyset) \in H_{r+1} \subset S.

Esto prueba que S es cerrado para la diferencia y la unión finita y, por tanto, es un anillo. Así pues

\mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset S

y esta inclusión junto con la anterior nos muestra que

\mathcal{R}(\mathcal{M}) = S.

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