Sobre semianillos de conjuntos y operaciones finitas

Una clase o familia de partes de un conjunto X es un semianillo si contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y la diferencia de dos de sus elementos se puede expresar como unión finita disjunta de elementos de la misma clase. Un ejemplo de semianillo muy utilizado es el de la clase de los intervalos de la recta real de la forma

]a,b],

donde a y b son números reales con a \leq b. Otro ejemplo de semianillo es el de los intervalos

[a,b[

y también es un semianillo la clase de todos los intervalos (abiertos, cerrados, semiabiertos, vacíos, acotados, no acotados, etc.). Sin embargo, la clase

\mathcal{C} = \{ [a,b] : a \leq b \} \cup \emptyset

no es un semianillo. Basta ver que si a < c <b < d, entonces

[a,b]-[c,d] = [a,c[

y [a,c[ no puede expresarse como unión finita y disjunta de intervalos cerrados. Sin embargo, sí puede expresarse como unión numerable de intervalos cerrados aunque no disjunta. Basta observar que

\cup_{n=1}^{\infty} [a, c-\frac{1}{n}] = [a,c[.

Yendo un paso más allá podríamos preguntarnos si es posible encontrar una sucesión disjunta de intervalos cerrados cuya unión fuera el intervalo [a,c[.

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