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Equicardinalidad de algunos intervalos

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Siempre resulta interesante analizar el concepto matemático actual del infinito. Una de las maneras de mostrar su profundidad y su carácter no intuitivo es a través de ciertas demostraciones que se deducen de él. En esta entrada vamos a mostrar una de tales demostraciones. En concreto, probaremos que los intervalos y de la recta real tienen el mismo número de elementos (o puntos como se  suele decir).  Sea el conjunto

.

Tal conjunto está incluido en el intervalo . Además, si , es un subconjunto de . Una vez considerados estos conjuntos, definimos una aplicación , mediante

si ,

, si ,

, si .

En realidad, tal aplicación deja intactos a todos los elementos de que no están en , a los que están en y no son cero los “mueve” un lugar en la sucesión que define a y al cero le hace corresponder el lugar libre que deja la sucesión (el primer término). Es fácil comprobar que este arreglo hace que sea una biyección. En efecto, las restricciones

,

,

son biyectivas y esto significa que es también biyectiva. La siguiente imagen ayuda a comprender estas ideas

 

En realidad, hemos mostrado que a pesar de que parece que el intervalo tiene un punto más (el cero) que el intervalo , esto no es así pues ambos son igual de “infinitos”.

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