Equicardinalidad de algunos intervalos

Siempre resulta interesante analizar el concepto matemático actual del infinito. Una de las maneras de mostrar su profundidad y su carácter no intuitivo es a través de ciertas demostraciones que se deducen de él. En esta entrada vamos a mostrar una de tales demostraciones. En concreto, probaremos que los intervalos ]0,1[ y [0,1[ de la recta real tienen el mismo número de elementos (o puntos como se  suele decir).  Sea el conjunto

A = \{ \frac{1}{n+1} : n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 0 \} .

Tal conjunto está incluido en el intervalo [0,1[. Además, si B = A - \{0 \}, es B un subconjunto de ]0,1[. Una vez considerados estos conjuntos, definimos una aplicación f:[0,1[ \rightarrow ]0,1[, mediante

f(x) = \frac{1}{2} si x=0,

f(x) = \frac{1}{n+2}, si x = \frac{1}{n+1},

f(x) = x, si x \in [0,1[ -A.

En realidad, tal aplicación deja intactos a todos los elementos de [0,1[ que no están en A, a los que están en A y no son cero los “mueve” un lugar en la sucesión que define a A y al cero le hace corresponder el lugar libre que deja la sucesión (el primer término). Es fácil comprobar que este arreglo hace que f sea una biyección. En efecto, las restricciones

f(A) = \{ \frac{1}{2} \} \cup \{ \frac{1}{n+2}, n=1,2, \ldots, \} = B,

f([0,1[ -A) = ]0,1[ -B,

son biyectivas y esto significa que f es también biyectiva. La siguiente imagen ayuda a comprender estas ideas

biyeccion3

 

En realidad, hemos mostrado que a pesar de que parece que el intervalo [0,1[ tiene un punto más (el cero) que el intervalo ]0,1[, esto no es así pues ambos son igual de “infinitos”.

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