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Interesante equicardinalidad de conjuntos de funciones

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Sean tres conjuntos y . Supongamos que los conjuntos y son equinumerosos (tienen el mismo cardinal). Sean

,

,

los conjuntos de las funciones de en y de las funciones de en , respectivamente. Probaremos que y tienen el mismo cardinal. Para ello vamos a utilizar la biyección

que, por hipótesis, existe entre y . Con ella, definimos la aplicación

,

dada por . Esta aplicación está bien definida (ver imagen)

pues a cada aplicación de en le hacemos corresponder una aplicación de en . Probaremos que es una biyección. El método que vamos a emplear es definir otra aplicación que resulta ser inversa de . Sea pues

dada por .  Es fácil ver que está bien definida (ver imagen)

Sólo nos resta ver las relaciones siguientes:

,

.

En efecto, tales relaciones muestran que y son inversas una de la otra por lo que son biyecciones y concluimos que el cardinal de es igual al cardinal de .

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