Interesante equicardinalidad de conjuntos de funciones

Sean tres conjuntos A, B y C. Supongamos que los conjuntos A y B son equinumerosos (tienen el mismo cardinal). Sean

A^{C} = \{ f: C \rightarrow A \},

B^{C} = \{g: C \rightarrow B \},

los conjuntos de las funciones f de C en A y de las funciones g de C en B, respectivamente. Probaremos que A^{C} y B^{C} tienen el mismo cardinal. Para ello vamos a utilizar la biyección

f: A \rightarrow B

que, por hipótesis, existe entre A y B. Con ella, definimos la aplicación

\lambda : A^{C} \rightarrow B^{C},

dada por \lambda (h) = f \circ h. Esta aplicación está bien definida (ver imagen)

Imagen

pues a cada aplicación de C en A le hacemos corresponder una aplicación de C en B. Probaremos que \lambda es una biyección. El método que vamos a emplear es definir otra aplicación \mu que resulta ser inversa de \lambda. Sea pues

\mu : B^{C} \rightarrow A^{C}

dada por \mu (j) = f^{-1} \circ j.  Es fácil ver que está bien definida (ver imagen)

Imagen

Sólo nos resta ver las relaciones siguientes:

(\mu \circ \lambda)( h) = \mu (\lambda (h) ) = \mu (f \circ h) = f^{-1} \circ f \circ h =h,

(\lambda \circ \mu) (j) = \lambda (\mu (j )) = \lambda (f^{-1} \circ j) = f \circ f^{-1} \circ j = j.

En efecto, tales relaciones muestran que \lambda y \mu son inversas una de la otra por lo que son biyecciones y concluimos que el cardinal de A^{C} es igual al cardinal de B^{C}.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s