Las sucesiones binarias y la cardinalidad del continuo (2)

Vamos a probar que el conjunto de todas las sucesiones binarias tiene el mismo cardinal que el de los números reales. Esto, en virtud del resultado demostrado anteriormente, nos muestra que el conjunto de las partes de \mathbb{N} tiene el cardinal del continuo.

Si A es un conjunto, escribimos |A| para denotar su cardinal. Si existe una aplicación inyectiva f:A \rightarrow B, escribimos |A| \leq |B|. En esta demostración vamos a usar el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que nos dice que si |A| \leq |B| y |B| \leq |A|, entonces |A| = |B|.
Sea el intervalo [0,1[ de la recta real. Cada x de dicho intervalo se puede expresar en la forma
x = \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} 2^{-n},
donde (x_{n}) es una sucesión binaria. En el caso de que x= \frac{1}{2^{p}} con p \in \mathbb{N}, podemos obtener sucesiones binarias (x_{n}), (y_{n}) distintas tales que
x = \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} 2^{-n} = \sum_{n=1}^{\infty} y_{n} 2^{-n}.
Por ejemplo, las sucesiones binarias
(x_{n}) = (0,1,1,1,1, \ldots, 1, \ldots), (y_{n}) = (1,0,0,0,0, \ldots, 0, \ldots)
dan lugar a \frac{1}{2}. Para evitar esto, consideramos que cada x se expresa en forma binaria con un número finito de unos. De esta manera, a cada x del intervalo [0,1[ le correspondería una única representación binaria y, en consecuencia, una única sucesión binaria. Así pues, la aplicación
f:[0,1[ \rightarrow \{0,1 \}^{\mathbb{N}},
que asigna a cada x del intervalo [0,1[ la sucesión binaria (x_{n}) tal que el conjunto \{n \in \mathbb{N}: x_{n} =1 \} es finito y x = \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} 2^{-n}, es una aplicación inyectiva. Esto significa que |[0,1[| \leq |\{0,1 \}^{\mathbb{N}}| .
Sea (x_{n}) una sucesión binaria. La aplicación
\phi: \{0,1\}^{\mathbb{N}} \rightarrow [0,1[,
dada por \phi((x_{n})) =\sum_{n=1}^{\infty} x_{n} 10^{-n} , está bien definida y es inyectiva. En efecto, los desarrollos de la forma \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} 10^{-n} con x_{n} \in \{0,1 \} dan lugar a números reales del intervalo [0,1[. Además, al no existir en tales desarrollos una infinidad de nueves, resultan ser únicos. Por tanto, |\{0,1 \}^{\mathbb{N}}|\leq |[0,1[|. Aplicando Cantor-Schröder-Bernstein tenemos que |\{0,1 \}^{\mathbb{N}}|=|[0,1[|, lo que prueba que el conjunto de las sucesiones binarias tiene la cardinalidad del continuo.

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