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Las sucesiones binarias y la cardinalidad del continuo (1)

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Sea el sistema de todos los posibles subconjuntos de y sea el conjunto de todas las posibles sucesiones binarias. Probaremos que :
(a) los conjuntos y tienen la misma cardinalidad.
(b) Los conjuntos y tienen la misma cardinalidad.
(a) Sean y dos conjuntos no vacíos. El conjunto de todas las aplicaciones , se notará por . De acuerdo con este convenio, el conjunto de todas las sucesiones binarias se puede denotar por y así lo haremos de ahora en adelante. Sea un subconjunto de . La aplicación

dada por
está bien definida y se trata de un elemento de . Probaremos que la aplicación
que asigna a cada subconjunto de , la aplicación , es una biyección. En efecto, supongamos que y son subconjuntos diferentes de . Entonces existe tal que o bien existe tal que . En el primer caso, pero y, por tanto, y en el segundo caso pero por lo que . Esto significa que es inyectiva. Probaremos que también es sobreyectiva. Sea una aplicación cualquiera de en . El conjunto está bien definido y resulta ser un subconjunto de para el que trivialmente . La biyección nos muestra que y   tienen la misma cardinalidad.

(b). Sean y dos sucesiones binarias. Formamos la sucesión mediante

Es decir

Es claro que es una sucesión binaria. La aplicación
,
tal que es una biyección.

En efecto, sean sucesiones binarias y supongamos que . Entonces puede suceder que y hallaríamos un para el

El mismo razonamiento es aplicable para el caso en que . Así pues, es inyectiva. Sea ahora una sucesión binaria. Consideremos las subsucesiones
.
Es inmediato que . Esto significa que es también sobreyectiva y termina la demostración.

El apartado (a) nos muestra que el cardinal de las partes de coincide con el cardinal de las sucesiones binarias. Este hecho nos sirve de puente para probar que el cardinal del conjunto de las partes de es el cardinal del continuo (es decir, del conjunto de los números reales).  Demostraremos este hecho en una posterior entrada.

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