Las sucesiones binarias y la cardinalidad del continuo (1)

Sea \mathcal{P}(\mathbb{N}) el sistema de todos los posibles subconjuntos de \mathbb{N} y sea \Xi el conjunto de todas las posibles sucesiones binarias. Probaremos que :
(a) los conjuntos \Xi y \mathcal{P}(\mathbb{N}) tienen la misma cardinalidad.
(b) Los conjuntos \Xi y \Xi \times \Xi tienen la misma cardinalidad.
(a) Sean A y B dos conjuntos no vacíos. El conjunto de todas las aplicaciones f:A \rightarrow B, se notará por B^{A}. De acuerdo con este convenio, el conjunto \Xi de todas las sucesiones binarias se puede denotar por \{0,1 \}^{\mathbb{N}} y así lo haremos de ahora en adelante. Sea A un subconjunto de \mathbb{N}. La aplicación
\chi_{A} : \mathbb{N} \rightarrow \{0, 1 \}
dada por \chi_{A}(n) = \left\{ \begin{array}{c}  0, \quad \text{si} \quad n \notin A \\  1, \quad \text{si} \quad n \in A \\  \end{array}  \right.
está bien definida y se trata de un elemento de \{0,1 \}^{\mathbb{N}}. Probaremos que la aplicación
\theta : \mathcal{P}(\mathbb{N}) \rightarrow \{0,1 \} ^{\mathbb{N}}que asigna a cada subconjunto A de \mathbb{N}, la aplicación \chi_{A}, es una biyección. En efecto, supongamos que A y B son subconjuntos diferentes de \mathbb{N}. Entonces existe r \in A tal que r \notin B o bien existe m \in B tal que m \notin A. En el primer caso, \chi_{A}(r)=1 pero \chi_{B}(r)=0 y, por tanto, \chi_{A} \neq \chi_{B} y en el segundo caso \chi_{A}(m)= 0 pero \chi_{B}(m)=1 por lo que \chi_{A} \neq \chi_{B}. Esto significa que \theta es inyectiva. Probaremos que también es sobreyectiva. Sea f una aplicación cualquiera de \mathbb{N} en \{0, 1 \} . El conjunto f^{-1}(1)= \{n \in \mathbb{N} : f(n)=1 \} está bien definido y resulta ser un subconjunto de \mathbb{N} para el que trivialmente \chi_{A} = f. La biyección \theta nos muestra que \{0,1 \}^{\mathbb{N}} y  \mathcal{P}(\mathbb{N}) tienen la misma cardinalidad.

(b). Sean (a_{n}) y (b_{n}) dos sucesiones binarias. Formamos la sucesión (c_{n}) mediante
c_{n} = \left\{ \begin{array}{l}  a_{\frac{n+1}{2}}, \quad \text{si} \quad n \quad \text{es impar} \\  b_{\frac{n}{2}}, \quad \text{si} \quad n \quad \text{es par} \\  \end{array}  \right.
Es decir
(c_{n}) =(a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3}, \ldots, a_{n}, b_{n}, \ldots ).
Es claro que (c_{n}) es una sucesión binaria. La aplicación
h: \{0,1 \}^{\mathbb{N}} \times \{0, 1\}^{\mathbb{N}} \rightarrow \{0, 1\}^{\mathbb{N}},
tal que h((a_{n}), (b_{n})) = (c_{n}) es una biyección.

En efecto, sean (a_{n}), (b_{n}), (a'_{n}), (b'_{n}) sucesiones binarias y supongamos que ((a_{n}), (b_{n})) \neq ((a'_{n}), (b'_{n})). Entonces puede suceder que (a_{n}) \neq (a'_{n}) y hallaríamos un n_{0} \in \mathbb{N} para el (a_{1}, b_{1}, \ldots, a_{n_{0}}, b_{n_{0}}, \ldots ) \neq (a'_{1}, b'_{1}, \ldots, a'_{n_{0}}, b'_{n_{0}}, \ldots ).

El mismo razonamiento es aplicable para el caso en que (b_{n}) \neq (b'_{n}). Así pues, h es inyectiva. Sea ahora (e_{n}) una sucesión binaria. Consideremos las subsucesiones
(e_{2n-1}), (e_{2n}).
Es inmediato que h((e_{2n-1}), (e_{2n})) = (e_{n}). Esto significa que h es también sobreyectiva y termina la demostración.

El apartado (a) nos muestra que el cardinal de las partes de \mathbb{N} coincide con el cardinal de las sucesiones binarias. Este hecho nos sirve de puente para probar que el cardinal del conjunto de las partes de \mathbb{N} es el cardinal del continuo (es decir, del conjunto de los números reales).  Demostraremos este hecho en una posterior entrada.

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