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Sucesiones en la recta ampliada. Límites superior e inferior (4)

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Una vez definidos los límites superior e inferior de una sucesión de números de la recta real ampliada, vamos a ver algunas de sus propiedades.

a) .

b) .

c) .

d) .

Pasamos a demostrar una a una estas propiedades. El lector debe recordar las definiciones de límite superior e inferior dadas en el anterior post y también las propiedades del supremo e ínfimo de un conjunto en la recta ampliada.

a) La sucesión

de los ínfimos de las secciones finales de la sucesión es creciente. Por tanto, hallaremos que existe y es único el valor .  Supongamos que dicho supremo es un número real (es decir que no es o ).  Dado dado , la definición de supremo nos lleva a hallar un entero positivo para el que .  Pero es una sucesión creciente por lo que   si . En definitiva, reescribiendo la desigualdad

, si .

Ahora bien, recordemos que es el supremo de los . Por ello la diferencia   es positiva y obtenemos

, si .

Esto prueba que .  Si suponemos que

,

entonces la sucesión no está acotada superiormente. Pero es creciente por lo que

.

En el caso de que , resultará que el supremo de los será por lo que todos ellos habrán de ser iguales a , y, trivialmente

.

La prueba de (b) es similar.

c) Como la sucesión es creciente, resulta
.
Por otro lado, la sucesión

es decreciente y, en consecuencia,
.
Para acabar, tenemos que para todo , lo cual combinado con el carácter creciente de y el decreciente de nos lleva a
.
Por tanto,
.

d) Sabemos que si es un subconjunto no vacío de la recta ampliada, entonces

.
Por tanto,
= = .

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