Sucesiones en la recta ampliada. Límites superior e inferior (4)

Una vez definidos los límites superior e inferior de una sucesión de números de la recta real ampliada, vamos a ver algunas de sus propiedades.

a) \lim \inf a_n = \lim_{n} \inf \{a_k : k \geq n \}.

b) \lim \sup a_n = \lim_{n} \sup \{a_k : k \geq n \}.

c) \inf \{a_n : n \in \mathbb{N} \} \leq \lim \inf a_n \leq \lim \sup a_n \leq \sup \{a_n : n \in \mathbb{N} \}.

d) \lim \inf a_n = -\lim \sup (-a_{n}).

Pasamos a demostrar una a una estas propiedades. El lector debe recordar las definiciones de límite superior e inferior dadas en el anterior post y también las propiedades del supremo e ínfimo de un conjunto en la recta ampliada.

a) La sucesión

t_n = \inf \{a_k : k \geq n \}

de los ínfimos de las secciones finales de la sucesión (a_n) es creciente. Por tanto, hallaremos que existe y es único el valor \sup \{t_n : n \in \mathbb{N} \} = \lim \inf a_n.  Supongamos que dicho supremo es un número real (es decir que no es \infty o -\infty).  Dado dado \epsilon >0, la definición de supremo nos lleva a hallar un entero positivo N para el que \lim \inf a_n - \epsilon < t_N.  Pero (t_n) es una sucesión creciente por lo que  \lim \inf a_n - \epsilon < t_n si n \geq N. En definitiva, reescribiendo la desigualdad

\lim \inf a_n - t_n < \epsilon, si n \geq N.

Ahora bien, recordemos que \lim \inf a_n es el supremo de los t_n. Por ello la diferencia  \lim \inf a_{n} - t_{n} es positiva y obtenemos

| \lim \inf a_n - t_n | < \epsilon, si n \geq N.

Esto prueba que \lim \inf a_n = \lim t_n = \lim_n \inf \{a_k : k \geq n \}.  Si suponemos que

\sup \{ t_n : n \in \mathbb{N} \} = \lim \inf a_n = \infty,

entonces la sucesión (t_n) no está acotada superiormente. Pero es creciente por lo que

\infty = \lim \inf a_n = \lim t_n = \lim_n \inf \{ a_k : k \geq n \}.

En el caso de que \lim \inf a_n = - \infty, resultará que el supremo de los t_n será -\infty por lo que todos ellos habrán de ser iguales a -\infty, y, trivialmente

-\infty = \lim \inf a_n = \lim t_n = \lim_n \inf \{a_k : k \geq n \}.

La prueba de (b) es similar.

c) Como la sucesión t_n es creciente, resulta
t_1 = \inf \{ a_{n} : n \in \mathbb{N} \} \leq \sup \{t_{n} : n \in \mathbb{N} \} = \lim \inf a_{n}.
Por otro lado, la sucesión
T_{n} = \sup \{ a_{k} : k \geq n \}, \quad n=1,2, \ldots
es decreciente y, en consecuencia,
\lim \sup a_{n} =\inf \{ T_{n} : \in \mathbb{N} \} \leq \sup \{ a_{n} : n \in \mathbb{N} \}.
Para acabar, tenemos que t_{n} \leq T_{n} para todo n, lo cual combinado con el carácter creciente de (t_n) y el decreciente de (T_n) nos lleva a
t_{1} \leq t_{2} \leq \ldots \leq t_n \leq \ldots \leq T_n \leq \ldots \leq T_{2} \leq T_1.
Por tanto,
\lim \inf a_{n} = \sup \{t_n : n \in \mathbb{N} \} \leq \inf \{T_n : n \in \mathbb{N} \} = \lim \sup a_n.

d) Sabemos que si A es un subconjunto no vacío de la recta ampliada, entonces

\sup A= -\inf (-A).
Por tanto,
\lim \inf a_{n} = \sup_{n} \{ \inf \{a_{k}: k \geq n \} \} = -\inf_{n}\{ -\inf \{a_{k}: k \geq n \} \} = -\inf_{n}\{ \sup \{-a_{k}: k \geq n \} \} = -\lim \sup (-a_n).

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