MATEMATICAS.NET

Sucesiones en la recta ampliada. Límites superior e inferior (3)

Anuncios

Consideremos una sucesión cualquiera en la recta real ampliada. Las secciones finales de dicha sucesión son los conjuntos

.

Dichos conjuntos son no vacíos y son subconjunto de . Además por su construcción verifican la cadena de inclusiones

.

Por otro lado, sabemos que existen sus supremos e ínfimos, permitiendo definir sucesiones nuevas:

, .

La cadena de inclusiones de las secciones finales permite concluir que la sucesión es creciente y la sucesión es decreciente. Basta aplicar ahora el teorema que garantiza la existencia de límite para sucesiones monótonas para obtener los límites:

, .

Pero como hemos probado en el apartado (2) de esta colección de posts, resulta que

.

.

Estos son los límites superior e inferior, respectivamente, de la sucesión y su existencia está garantizada sólo en la recta ampliada. En siguientes entregas veremos más propiedades de estos límites y sus aplicaciones en algunas ramas del cálculo.

Anuncios