Sucesiones en la recta ampliada. Límites superior e inferior (3)

Consideremos una sucesión cualquiera (a_n) en la recta real ampliada. Las secciones finales de dicha sucesión son los conjuntos

S_{n} = \{ a_{k} : k \geq n \} .

Dichos conjuntos son no vacíos y son subconjunto de \overline{\mathbb{R}}. Además por su construcción verifican la cadena de inclusiones

S_1 \supset S_2 \supset S_3 \ldots \supset S_n \supset S_{n+1} \supset \ldots .

Por otro lado, sabemos que existen sus supremos e ínfimos, permitiendo definir sucesiones nuevas:

t_n = \inf S_n, T_{n}= \sup S_n.

La cadena de inclusiones de las secciones finales permite concluir que la sucesión (t_n) es creciente y la sucesión (T_n) es decreciente. Basta aplicar ahora el teorema que garantiza la existencia de límite para sucesiones monótonas para obtener los límites:

\lim_n t_n, \lim_n T_n.

Pero como hemos probado en el apartado (2) de esta colección de posts, resulta que

\lim_n t_n = \sup \{t_n : n \in \mathbb{N} \} = \sup_n \{ \inf \{a_k : k \geq n \}\} = \lim \inf a_n.

\lim_n T_n = \inf \{ T_n : n \in \mathbb{N} \} = \inf_{n} \{ \sup \{a_k : k \geq n \} \} = \lim \sup a_n.

Estos son los límites superior e inferior, respectivamente, de la sucesión (a_n) y su existencia está garantizada sólo en la recta ampliada. En siguientes entregas veremos más propiedades de estos límites y sus aplicaciones en algunas ramas del cálculo.

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