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Sucesiones en la recta ampliada. Límites superior e inferior (2)

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Una de las principales facilidades que nos da la recta real ampliada es la de extender la existencia de supremos e ínfimos. Sabemos que el axioma de completitud de la recta real nos permite afirmar que todo subconjunto no vacío de números reales que esté acotado superiormente tiene una cota superior mínima, a la que llamamos supremo (y también todo conjunto no vacío acotado inferiormente tiene cota inferior máxima o ínfimo).  La importancia de este hecho es crucial pues distingue al cuerpo ordenado de los reales del cuerpo ordenado de los racionales.

En la recta ampliada todo conjunto tiene supremo e ínfimo. Convenimos en que si es vacío su supremo es y su ínfimo . Si no está acotado superiormente su supremo es y si no está acotado inferiormente su ínfimo es . Estos convenios también afectan a las sucesiones pues también podemos probar que toda sucesión monótona converge en la recta ampliada.  Lo haremos para el caso de una sucesión monótona decreciente.

Consideremos ahora una sucesión en . Si existe un entero positivo , para el que , siempre que , entonces es decreciente. Sea . Si , entonces todos los términos posteriores a este serán también iguales a y, en consecuencia, su límite será también . Supongamos pues que no pertenece a . En tal caso, si existe algún para el que y está acotado inferiormente, sabemos que tendrá límite finito y que será . Si existe algún para el que y no está acotado inferiormente, entonces dado , hallaremos , tal que . Pero como es decreciente esto implica que
.
Es decir, .
Si todos los elementos de son , entonces trivialmente concluimos que . En todos los caso, resulta que
.

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