Sucesiones en la recta ampliada. Límites superior e inferior (2)

Una de las principales facilidades que nos da la recta real ampliada es la de extender la existencia de supremos e ínfimos. Sabemos que el axioma de completitud de la recta real nos permite afirmar que todo subconjunto no vacío de números reales que esté acotado superiormente tiene una cota superior mínima, a la que llamamos supremo (y también todo conjunto no vacío acotado inferiormente tiene cota inferior máxima o ínfimo).  La importancia de este hecho es crucial pues distingue al cuerpo ordenado de los reales del cuerpo ordenado de los racionales.

En la recta ampliada todo conjunto tiene supremo e ínfimo. Convenimos en que si es vacío su supremo es -\infty y su ínfimo +\infty. Si no está acotado superiormente su supremo es +\infty y si no está acotado inferiormente su ínfimo es -\infty. Estos convenios también afectan a las sucesiones pues también podemos probar que toda sucesión monótona converge en la recta ampliada.  Lo haremos para el caso de una sucesión monótona decreciente.

Consideremos ahora una sucesión (b_{n}) en \mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \}. Si existe un entero positivo n_{0}, para el que b_{n+1} \leq b_{n}, siempre que n \geq n_{0}, entonces (b_{n}) es decreciente. Sea B =\{ b_{n} : n \geq n_{0} \} . Si -\infty \in B, entonces todos los términos posteriores a este serán también iguales a -\infty y, en consecuencia, su límite será también -\infty = \inf \{b_{n} : n \geq n_{0} \}. Supongamos pues que -\infty no pertenece a B. En tal caso, si existe algún b_{n} \in B para el que b_{n} \neq \infty y B está acotado inferiormente, sabemos que tendrá límite finito y que será l= \inf B. Si existe algún b_{n} \in B para el que b_{n} \neq \infty y B no está acotado inferiormente, entonces dado K <0, hallaremos r \geq n_{0}, tal que b_{r} < K. Pero como (b_{n}) es decreciente esto implica que
b_{n} < K, \quad \text{si} \quad n \geq r.
Es decir, \lim b_{n} = -\infty = \inf B.
Si todos los elementos de B son \infty, entonces trivialmente concluimos que \lim b_{n} = \infty = \inf B. En todos los caso, resulta que
\lim b_{n} = \inf B.

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