Sucesiones en la recta ampliada. Límites superior e inferior (1)

La recta ampliada es el conjunto de los números reales junto con dos símbolos -\infty, +\infty. El orden usual en los reales se extiende a la recta ampliada mediante

-\infty < x <+\infty, para todo x real.

La recta ampliada no es un cuerpo . En efecto, no todas las operaciones están definidas. En particular, las sumas del tipo

-\infty+\infty

no están definidas. En cuanto al resto de operaciones en las que aparecen los símbolos de infinito se adoptan diversos convenios. Nosotros usamos los empleados en teoría de la medida. Si x es un número real, entonces

Imagen

Obsérvese que cero por infinito o menos infinito da cero (en contra de lo que se conviene a la hora de calcular límites de funciones reales). Se suele escribir \overline{\mathbb{R}} para denotar a la recta ampliada.  El orden en la recta ampliada es total pero no es compatible con las operaciones. En efecto,  dados x e y, reales, tales que x <y, si el orden fuera compatible con la suma, se tendría que \infty=\infty+x < \infty+y = \infty, lo cual es absurdo. Sin embargo, el orden total sí permite definir una topología de la forma usual. Es decir, la que tiene por base la familia de intervalos de la forma

\mathcal{F} = \{ (a,b), [-\infty, b), (a, +\infty]: a, b \in \overline{\mathbb{R}}, a \leq b \}.

Esto significa que cualquier abierto de dicha topología es unión de los elementos de \mathcal{F}. Por ejemplo, los siguientes conjuntos son abiertos: [- \infty, 0) , [-\infty, +\infty], (-\infty, +\infty), (0,1).

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