Archivos Mensuales: marzo 2013

Una demostración sobre sigma-álgebras generadas e imágenes inversas.

Sean X e Y dos conjuntos y sea f:X \rightarrow Y una aplicación entre ellos. Si \mathcal{C} es una clase no vacía de partes de Y, tratamos de demostrar que la sigma-álgebra generada por la clase de las imágenes inversas de \mathcal{C} coincide con la imagen inversa de la sigma-álgebra generada por la clase \mathcal{C}. En símbolos

\sigma(f^{-1}(\mathcal{C})) = f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})).

Sabemos que \mathcal{C} \subset \sigma(\mathcal{C}). Por tanto,
f^{-1}(\mathcal{C}) \subset f^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))
Ahora bien, sabemos que f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})) es una sigma-álgebra. Así que
\sigma(f^{-1}(\mathcal{C})) \subset f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})).
Para probar la inclusión recíproca vamos a utilizar el método de los “conjuntos buenos”. Definimos la clase
\mathcal{M} = \{ B \in \sigma(\mathcal{C}) : f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})) \}.
Como Y \in \sigma(\mathcal{C}) y f^{-1}(Y) = X \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})), la clase \mathcal{M} es no vacía. Además si C pertenece a \mathcal{C}, tenemos que f^{-1} (C) \in f^{-1}(\mathcal{C}) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C})). Por tanto, \mathcal{C} \subset \mathcal{M}. Sea B perteneciente a  \mathcal{M}. Entonces f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})), de donde
f^{-1}(Y-B) = X-f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C}))
Esto prueba que Y-B pertenece a \mathcal{M}. Por otro lado, si (B_{n})_{n} es una familia numerable de elementos de \mathcal{M}, la familia (f^{-1}(B_{n}))_{n} es numerable y está formada por elementos de \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})). Esto significa que \cup_{n} B_{n} \in \sigma(\mathcal{C}) y también
f^{-1}(\cup_{n} B_{n}) = \cup_{n} f^{-1}(B_{n}) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})).
Hemos probado que \mathcal{M} es una sigma-álgebra por lo que \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{M}. Pero, por definición, es \mathcal{M} \subset \sigma(\mathcal{C}). La doble inclusión lleva a la igualdad y así podemos afirmar que
f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C})),
lo que era nuestro objetivo al definir la clase \mathcal{M}. Esto termina la demostración.

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Sobre sigma-álgebras y numerabilidad

Existe un resultado muy interesante sobre la no numerabilidad de las sigma-álgebra de conjuntos infinitas. He visto algunas demostraciones más o menos complicadas pero la que más me ha gustado es la que muestro a continuación.

En primer lugar, si \mathcal{A} es una sigma-álgebra infinita sobre un conjunto X, dicho conjunto ha de ser infinito. En efecto, el conjunto 2^{X} de las partes de un conjunto X finito es finito y resulta una sigma-álgebra que contiene a todas las sigma-álgebras sobre X por lo que éstas han de ser también finitas. Sea pues X un conjunto infinito y supongamos que existe una sigma-álgebra \mathcal{A} sobre X que es infinito numerable. Es inmediato que podemos tomar una familia (A_{n})_{n} infinito numerable de elementos de \mathcal{A} distintos dos a dos. Procedemos a formar con ella una nueva familia infinito numerable y disjunta de elementos de \mathcal{A} mediante
B_{n} =\left\{ \begin{array}{c}  A_{1}, \quad \text{si} \quad n =1 \\  A_{n} - \cup_{k=1}^{n-1} A_{k}, \quad \text{si} \quad n \geq 2.\\  \end{array}  \right.
La aplicación f: 2^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathcal{A} , dada por
f(M) = \cup_{n \in M} B_{n}
es inyectiva. Por tanto, |2^{\mathbb{N}}| \leq |\mathcal{A}| y la sigma-álgebra no es numerable en contra de lo supuesto.

Más sobre anillos de conjuntos

Me surgió un problema relativo al carácter del producto cartesiano de anillos de conjuntos. Como no daba con la clave consulté en el estupendo foro del rincón matemático y Tanius fue muy amable al darme un contraejemplo.  Esta es la argumentación que he podido pergeñar:

Sean \mathcal{R}_{1} y \mathcal{R}_{2} anillos sobre X e Y, respectivamente. La clase \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2}, ¿es un anillo sobre X \times Y?
Todo anillo es semianillo por lo que es claro que \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} es un semianillo y contendrá al vacío y será cerrado para la intersección finita. Sin embargo, no siempre es un anillo como podemos ver mediante un contraejemplo. Sean
\mathcal{R}_{1} = \{ \emptyset,\{1\}, \mathbb{N}-\{1 \}, \mathbb{N} \},
\mathcal{R}_{2} = \{ \emptyset,\{2\}, \mathbb{N}-\{2 \}, \mathbb{N} \}.
Ambas clases son anillos sobre los naturales. La clase \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} contiene a los conjuntos (\mathbb{N}- \{1\}) \times (\mathbb{N} -\{2 \}) y \{(1,2) \}. Pero su unión es
A= (\{2,3, \ldots, n, \ldots \} \times \{1,3,4, \ldots, m, \ldots, \}) \cup \{(1,2) \}
Veamos que tal unión no pertenece al producto cartesiano de las clases. Los elementos de \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} son

\emptyset, \{(1,2)\}, \{1\} \times (\mathbb{N}- \{2\}), \{1\} \times \mathbb{N}, (\mathbb{N}-\{1\}) \times \{2\},
(\mathbb{N}-\{1\}) \times (\mathbb{N}-\{2\}), (\mathbb{N}-\{1\})\times \mathbb{N}, \mathbb{N} \times \{2\}, \mathbb{N} \times (\mathbb{N}- \{2\}),\mathbb{N} \times \mathbb{N}.

Pero el conjunto A no es ninguno de ellos como el lector puede comprobar. Así pues, el producto cartesiano de anillos (o de álgebras) no es siempre un anillo (o álgebra).

Pensando sobre Cantor y las diagonales

Leyendo sobre el método diagonal de Cantor se me ha ocurrido repasar en qué consiste y cuándo se puede utilizar. En primer lugar, observo que la mayoría de las demostraciones en las que se usa este método son por reducción al absurdo. Es decir, probamos algo viendo que es imposible su negación. Este tipo de razonamiento es suficientemente conocido y sólo cuestionado por una minoría. Al fin y al cabo se trata de una exigencia lógica al suponer cierto el principio del tercio excluso. En segundo lugar, observo que se usa sobre todo para conjuntos infinitos. Pero eso no significa que sea imposible usarlo para conjuntos finitos. Por ejemplo, consideremos el conjunto de signos binarios \{0,1 \} y formemos con ellos todas las cadenas de tres elementos. Resultarán
000
001
010
011
100
101
110
111
En total 8 posibilidades que representan los números en notación decimal 0,1,2,3,4,5,6,7, respectivamente. Ahora vamos a construir una cadena tomando como primer dígito uno distinto del primer dígito del primer elemento, como segundo dígito uno distinto del segundo dígito del segundo elemento y como tercer dígito uno distinto del tercer dígito del tercer elemento. Es decir 111. Esta cadena está en la lista pero no se halla entre las tres primeras (es la octava). Así pues, con dos dígitos, el método de Cantor nos permite construir una cadena de tres elementos que no se halla entre las tres primeras (o sea que hay más de tres cadenas). Probemos con longitudes mayores. Por ejemplo, cadenas de cinco elementos
00000
00001
00010
00011
00100
00110
00111
01000
01001
01010
01011
01100,
etcétera. Como tenemos cadenas de cinco elementos vamos a formar una nueva cadena de cinco elementos que tenga el primer dígito distinto del primer dígito de la primera cadena, el segundo distinto del segundo dígito de la segunda cadena y así sucesivamente, resulta 11101 que es una cadena de cinco elementos que no se halla entre las cinco primeras. Generalizando, podemos probar que con los dígitos \{0,1 \} el número de cadenas que se pueden formar de n elementos es siempre mayor que n. Obsérvese que sólo he demostrado un hecho trivial que podría haberse demostrado de otra manera y que en absoluto he probado nada que tenga que ver con un conjunto infinito. Además para hacer la prueba he tomado una representación homogénea y no ambigüa de cierto conjunto finito de naturales. Es decir, una representación donde cada número tenía asociada una y sólo una cadena, el número de dígitos siempre era el mismo y se podía construir una diagonal. Vamos a extender ahora el razonamiento para un conjunto infinito. ¿Qué pasa si intento representar todos los naturales utilizando cadenas de ceros y unos? Supongamos que lo hago utilizando cadenas infinitas numerables de la forma \cdots x_{n} \cdots x_{2} x_{1} ,
donde los x_{i} son cero o uno. Esto me llevaría al viejo problema de las series infinitas. Para evitar paradojas debería en realidad escribir
\sum_{i=1}^{\infty} 2^{x_{i}}
donde los x_{i} son cero o uno. ¿Converge siempre esta serie? La respuesta es no. Basta con tomar, por ejemplo, x_{i}=1 para n>3. Así pues, no es correcto usar este tipo de representación pues da lugar a elementos no naturales. Convenimos entonces en representar los naturales en forma binaria mediante cadenas de longitud variable, pero ¿qué longitud? Por ejemplo, ¿usamos
0
01
0010
0011
100
o usamos
0
1
10
11
100 ?
En ninguno de los dos casos podemos utilizar el argumento diagonal de Cantor pues al fin y al cabo no tenemos una representación única de la que se pueda extraer una diagonal. Y eso es lo importante del método: la existencia de una representación homogénea única y la posibilidad de tomar una diagonal en esa representación. Resumiendo, la inexistencia de representación homogénea y unívoca de los naturales mediante ceros y unos me impide aplicarles el método diagonal de Cantor. Veamos ahora la clásica demostración sobre la no numerabilidad de los elementos del intervalo ]0,1[. Supongamos que cada elemento de dicho intervalo se escribe en la forma de una lista numerable de dígitos
0, x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \cdots ....
donde cada x_{i} un elemento del conjunto \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} y no existe ninguno de ellos con una infinidad de nueves (esto se hace así para evitar situaciones del tipo 0,299999…= 0,30000….). Esta representación es unívoca y homogénea. Por tanto, si suponemos que el conjunto de los puntos de ]0,1[ es numerable lo podremos poner en forma de sucesión
0, x_{11} x_{12} \cdots x_{1n} \cdots
0, x_{21} x_{22} \cdots x_{2n} \cdots
\cdots
0, x_{m1} x_{m2} \cdots x_{mn} \cdots
\cdots
Tomando ahora y= 0, u_{1} u_{2} \cdots, u_{m} \cdots con u_{1} \neq x_{11}, u_{2} \neq x_{22}, u_{m} \neq x_{mm} tenemos un elemento que no está en la lista. Para evitar esta contradicción, el intervalo ]0,1[ no puede ser numerable.

Ecuaciones recíprocas

Consideremos ecuaciones de la forma

P(x)= 0,

donde P(x) es un polinomio con coeficientes reales o complejos. Una ecuación de este tipo se llama recíproca si además de tener la raíz x también tiene la raíz \frac{1}{x}. Es evidente en esta definición, que una ecuación recíproca no puede tener como raíz el cero.

Existe una forma muy sencilla de reconocer una ecuación recíproca. Basta con advertir que cuando se pone en forma ordenada (es decir, como polinomio ordenado completo llenando las potencias faltantes con coeficientes nulos), entonces los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales o iguales y de signos contrarios. Por ejemplo

5x^{2} -2x+5 = 0

es una ecuación recíproca.  Sus soluciones son x_{1} = \frac{1}{5} (1-2i \sqrt(6)) y x_{2} = \frac{1}{5} (1+2i \sqrt(6)). Se puede comprobar que los valores son inversos (recíprocos) uno del otro. Es decir, x_{1} x_{2} = 1.

Para probar que esta propiedad de las ecuaciones recíprocas vamos a usar la relación general existente entre las raíces y los coeficientes de una ecuación polinómica del tipo que consideramos. Es decir, la llamada “ley de los coeficientes”.

Ley de los coeficientes: Sea P(x) =\sum_{k=0}^{n} a_{n-k} x^{k} =0 una ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos y a_{0} =1. Sean x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} sus n raíces complejas, sin tener en cuenta su multiplicidad. Entonces

\sum_{k=1}^{n} x_{k} = -a_{1}

\sum_{i,j=1, i \neq j}^{n} x_{i} x_{j} = a_{2}

\ldots

x_{1} x_{2} \cdots x_{n} = (-1)^{n} a_{n}.

En el caso de que el grado de la ecuación recíproca sea impar tenemos que una de las raíces ha de ser 1 o -1 pues es el único valor que es igual a su recíproco. Teniendo en cuenta este detalle y la ley de los coeficientes, podemos operar las raíces de una ecuación recíproca y obtendremos la relación expuesta entre sus coeficientes. El cálculo general es laborioso por lo que daremos un ejemplo con una ecuación de cuarto grado:

a_{0} x^{4} +a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3} x +a_{4} = 0

Suponemos que a_{0} = 1. Sean x_{1}, x_{2}, x_{3} y x_{4} las raíces de esta ecuación. Entonces

x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = (-1)^{4} a_{4}.

Pero si x_{2} = \frac{1}{x_{1}} y x_{3}= \frac{1}{x_{4}}, entonces

x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = x_{1} \frac{1}{ x_{1}} \frac{1}{x_{4}} x_{4} = 1= (-1)^{4} a_{4} .

Esto prueba que a_{0} = a_{4}. Del mismo modo, partiendo de

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = -a_{1},

resultará la expresión

x_{1}+ \frac{1}{x_{1}}+ \frac{1}{x_{4}} + x_{4}= -a_{1}.

Pero también tenemos

x_{1}x_{2}x_{3} + x_{1} x_{2} x_{4} +x_{2} x_{3} x_{4} + x_{1} x_{3} x_{4} = -a_{3},

que al sustituir los valores como antes queda

x_{1} \frac{1}{x_{1}} \frac{1}{x_{4}}+ x_{1} \frac{1}{x_{1}} x_{4} + \frac{1}{x_{1}} \frac{1}{x_{4}} x_{4}+x_{1} \frac{1}{x_{4}} x_{4},

que simplificado da lugar a

\frac{1}{x_{4}} +x_{4} +\frac{1}{x_{1}}+ x_{1}

Es decir, a_{1} = a_{3}. Por cierto, el valor de a_{2} no tiene importancia para nuestro desarrollo pues queda justo “en medio” por lo que no tiene simétrico.

Demostración sobre producto cartesiano de semianillos de conjuntos

Sea X un conjunto no vacío. Una colección de subconjuntos de X es un semianillo sobre X si contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y además la diferencia de dos cualesquiera de los elementos de la colección resulta expresable mediante unión finita y disjunta de elementos de la misma colección.

Si queremos probar que dados \mathcal{S}_{1}, semianillo sobre X y \mathcal{S}_{2} semianillo sobre Y, su producto cartesiano

\mathcal{S}_{1} \times \mathcal{S}_{2} = \{ A \times B: A \in \mathcal{S}_{1}, B \in \mathcal{S}_{2} \} ,

es un semianillo sobre X \times Y, necesitamos hacer uso de una interesante propiedad de la diferencia de productos cartesianos. En concreto, necesitaremos probar que para A, C \in X y B,D \in Y, se tiene que

(A \times B)-(C \times D) = (A \times (B-D)) \cup ((A-C) \times B) .

He encontrado una interesante demostración en Proof Wiki.

Sobre la definición de conjunto infinito

La definición clásica de conjunto infinito es sencilla: un conjunto es infinito cuando no es finito. Es claro que llegado a este punto, la pregunta inmediata que nos hacemos es, ¿cuándo un conjunto es finito? Pues también existe una definición clásica y es la siguiente.

Un conjunto A es finito si es vacío o existe un subconjunto  S(n)= \{1,2, \ldots, n \} de \mathbb{N} y una biyección f  de A en S(n).

Sin embargo, existe otra definición menos conocida pero muy interesante atribuida a Dedekind:

Un conjunto A se dice que es finito tipo Dedekind o D-finito si no es posible encontrar ninguna biyección entre el conjunto A y cualquiera de sus subconjuntos propios. En caso contrario, se dirá que es infinito tipo Dedekind o D-infinito.

Utilizando la propiedad de buena ordenación de los naturales podemos probar que todo conjunto finito es D-finito.  Sin embargo, la única prueba que conozco de la equivalencia de que todo conjunto infinito es D-infinito precisa del axioma de elección.