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Curioso ejercicio de límites superior e inferior

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Sabemos que los números racionales de la recta real forman un conjunto numerable. Por ello existe una enumeración en la forma . Es importante saber que tal enumeración no implica una ordenación . Tan sólo es el resultado de una aplicación biyectiva . El siguiente ejercicio es una cuestión de límites superior e inferior de conjuntos pero en su resolución se ha tenido en cuenta este hecho. Se trata de considerar la sucesión de intervalos de la recta real dada por

,

donde es el enésimo racional de una enumeración de los racionales. Se nos pide el límite superior e inferior de dicha sucesión.

Supongamos que pertenece al límite inferior de la sucesión , entonces pertenece a todos los elementos de la sucesión, excepto quizás a un número finito de ellos. Es decir, hallaremos un tal que si . Teniendo en cuenta la definición de la sucesión, esto significa que

si .

De manera equivalente

, para todo .

Ahora es cuando hay que tener cuidado con lo que significa considerar la enumeración de los racionales de en adelante. La primera consecuencia de la desigualdad anterior es que

,

si es mayor que . Lo que nos lleva a que . Esto es, todos los racionales, menos un número finito de ellos se hallan en un entorno de radio 2 del racional . Pero esto es absurdo pues sabemos que hay una infinidad de racionales en cualquier intervalo no vacío de la recta real. Así pues, . Veamos ahora el caso del límite superior. Si pertenece a entonces se hallará en una infinidad de . Por ejemplo,  podemos ver que cualquier real que cumpla

, para todo ,

pertenece a pues se halla en una infinidad de conjuntos de la forma , con racional. El lector puede comprobar con la siguiente figura que .

Es fácil ver que “trasladando” esta argumentación podemos “cubrir” toda la recta real. Por ejemplo, si sumamos , resulta

, para todo ,

Luego es . Por tanto, .

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