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Un caso de convergencia de series de funciones indicadoras

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En el caso de una sucesión de subconjuntos disjuntos de un conjunto  podemos garantizar la igualdad:

.

Debemos demostrar que para cada , la serie

converge a . Sabemos que

Si pertenece a , entonces pertenece a uno y sólo uno de los conjuntos (ya que la sucesión es disjunta). Sea . Entonces

pero

Por tanto,

Por otro lado,

mientras que

En consecuencia,

Para acabar, si , entonces para todo y de aquí

y también

Por ello

Esto termina la demostración.

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