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Diferencia simétrica generalizada

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La diferencia simétrica entre dos conjuntos y es el conjunto de los elementos que se hallan sólo en uno de los conjuntos. Más precisamente,

.

Diferencia simétrica de dos conjuntos.

La diferencia simétrica es una operación conmutativa y asociativa. Esto permite generalizarla para un número de conjuntos. Es decir, tiene sentido la escritura

,

donde es una colección de subconjuntos de un conjunto dado . Probaremos que es el conjunto de los elementos de que se hallan justo en un número impar de conjuntos .

Diferencia simétrica de tres conjuntos.

Hacemos la prueba por inducción sobre . Para y es inmediata por definición de diferencia simétrica. Sea cierto para y sea . Como

,

entonces y o y . En el primer caso, aplicando la inducción, pertenece a una cantidad impar de conjuntos y, evidentemente, también a una cantidad impar de conjuntos de (pues no pertenece a ) y, en el segundo caso pertenece a pero puede pertenecer a una cantidad par de conjuntos de . Si pertenece sólo a , entonces es evidente que pertenece a una cantidad impar de conjuntos de y si pertenece además a una cantidad par de conjuntos de , es inmediato que pertenecerá a una cantidad impar de conjuntos de (pues añadimos uno más y par más uno es impar). Por tanto,  la diferencia simétrica es el conjunto de los elementos de que se hallan en un número impar de conjuntos de y esto termina la demostración.

Referencias:

Wikipedia

Mathematics

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