Diferencia simétrica generalizada

La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \Delta B de los elementos que se hallan sólo en uno de los conjuntos. Más precisamente,

A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B) = (A-B) \cup (B-A).

Diferencia simétrica de dos conjuntos.

Diferencia simétrica de dos conjuntos.

La diferencia simétrica es una operación conmutativa y asociativa. Esto permite generalizarla para un número n de conjuntos. Es decir, tiene sentido la escritura

\Delta_{i=1}^{n} E_{i},

donde E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{n} es una colección de n subconjuntos de un conjunto dado X. Probaremos que \Delta_{i=1}^{n} E_{i} es el conjunto de los elementos de X que se hallan justo en un número impar de conjuntos E_{i}.

Diferencia simétrica de tres conjuntos.

Diferencia simétrica de tres conjuntos.

Hacemos la prueba por inducción sobre n. Para n=1 y n=2 es inmediata por definición de diferencia simétrica. Sea cierto para k \geq 2 y sea x \in \Delta_{i=1}^{k+1} E_{i}. Como

\Delta_{i=1}^{k+1} E_{i} = (\Delta_{i=1}^{k} E_{i}) \Delta E_{k+1},

entonces x \in \Delta_{i=1}^{k} E_{i} y x \notin E_{k+1} o x \notin \Delta_{i=1}^{k} E_{i} y x \in E_{k+1}. En el primer caso, aplicando la inducción, x pertenece a una cantidad impar de conjuntos E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k} y, evidentemente, también a una cantidad impar de conjuntos de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} (pues no pertenece a E_{k+1}) y, en el segundo caso x pertenece a E_{k+1} pero puede pertenecer a una cantidad par de conjuntos E_{i} de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}. Si x pertenece sólo a E_{k+1}, entonces es evidente que pertenece a una cantidad impar de conjuntos de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} y si pertenece además a una cantidad par de conjuntos E_{i} de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, es inmediato que pertenecerá a una cantidad impar de conjuntos E_{i} de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} (pues añadimos uno más y par más uno es impar). Por tanto,  la diferencia simétrica \Delta_{i=1}^{k+1} E_{i} es el conjunto de los elementos de X que se hallan en un número impar de conjuntos de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} y esto termina la demostración.

Referencias:

Wikipedia

Mathematics

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