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Sucesiones disjuntas de conjuntos y convergencia.

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Una sucesión de subconjuntos de un conjunto , se dice que es convergente si coinciden sus límites inferior y superior. Recordemos que tales límites se pueden definir mediante operaciones conjuntistas:

,

.

 Vamos a probar que cuando la sucesión está formada por conjuntos disjuntos converge y lo hace al conjunto vacío.

Sea una sucesión disjunta de partes de . Definimos la sucesión
.
Sabemos que esta sucesión es decreciente por su misma construcción y que . Probaremos que esta intersección es vacía. Supongamos que , entonces y hallaremos , tal que , pero también , lo que implica que existe con para el que . Esto contradice el carácter disjunto de la sucesión y por tanto, la intersección es vacía. Es decir,

Como , también es . Al coincidir límite superior e inferior, la sucesión disjunta es convergente al vacío.

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