El método de los buenos conjuntos

Como paso previo a la demostración del teorema de las clases monótonas se suele utilizar el resultado de que si \mathcal{R} es un anillo (álgebra) sobre un conjunto X, la clase monótona generada por dicho anillo \mathcal{M}(\mathcal{R}) es también un anillo (álgebra). En la prueba de este enunciado se ejemplifica de manera muy interesante el método llamado de “los buenos conjuntos”.  Veamos la demostración.

Todo anillo contiene al conjunto vacío por lo que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es una clase no vacía. Para probar que dicha clase es un anillo utilizaremos el método de los buenos conjuntos. Empezaremos definiendo la clase
\mathcal{U} =\{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
(donde A' designa el complementario de A). Esta clase contiene al anillo \mathcal{R} y si (A_{n})_{n} es una sucesión monótona creciente de elementos de \mathcal{U}, entonces \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), y la sucesión (A'_{n})_{n} será decreciente y estará formada también por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) por lo que
(\bigcup_{n} A_{n})' = \bigcap_{n} A_{n}' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Si consideramos una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{U}, el resultado es análogo. Esto significa que \mathcal{U} es una clase monótona que incluye a \mathcal{R} por lo que \mathcal{U}=\mathcal{M} (\mathcal{R}) y la clase monótona es cerrada para el paso al complementario. Sea la clase
\mathcal{E} = \{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall B \in \mathcal{R} \}.
Probaremos que es una clase monótona. En primer lugar, \mathcal{R} \subset \mathcal{E}, pues el anillo es cerrado para la unión finita. Sea (A_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{E}. Entonces, \cup_{n} A_{n} pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (A_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) y también es creciente por lo que
\bigcup_{n} (A_{n} \cup B) = (\bigcup_{n} A_{n})\cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Es decir, \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{E}. Para el caso de una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{E}, es \cap_{n} B_{n} un elemento de \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (B_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, también es decreciente y está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}), luego
\bigcap_{n}(B_{n} \cup B) = (\bigcap_{n} B_{n}) \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
En consecuencia, \cap_{n} B_{n} \in \mathcal{E}. Eso prueba que \mathcal{E} es clase monótona y, por su definición, \mathcal{E} = \mathcal{M}(\mathcal{R}). Para acabar, definimos la clase
\mathcal{D} = \{ B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}): A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
Entonces, por lo demostrado para la clase \mathcal{E}, se tiene que \mathcal{R} \subset \mathcal{D}. Sólo nos restará probar que es una clase monótona. Sea (B_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{D}. Por definición, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}). La sucesión ( A \cup B_{n})_{n}, para A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), será también creciente y además

\bigcup_{n} (B_{n} \cup A) = (\bigcup_{n} B_{n}) \cup A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).

Es decir, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{D}. Para el caso de una sucesión decreciente, la prueba es análoga. Como \mathcal{D} es una clase monótona que contiene a \mathcal{R} y está contenida en \mathcal{M}(\mathcal{R}), concluimos que \mathcal{D} = \mathcal{M}(\mathcal{R}) y \mathcal{M}(\mathcal{R}) es cerrada para la unión. Esto era lo que nos restaba para probar que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es un anillo.
En el caso de que el punto de partida sea un álgebra el resultado es análogo pues sólo faltaría comprobar que el conjunto X pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}). Pero esto es inmediato, pues si \mathcal{R} es un álgebra, entonces X \in \mathcal{R} \subset \mathcal{M}(\mathcal{R}).

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s