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Todo abierto de topología usual de la recta real es unión numerable de intervalos abiertos disjuntos

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Me he dado cuenta de que este resultado es muy importante en el desarrollo de ciertos problemas por lo que merece una demostración.

Sea un abierto de la topología usual en . Si es vacío podemos escribir con un número real cualquiera y el enunciado se verifica de forma trivial. Sea no vacío. Es evidente que dado , existe al menos un , tal que . Los conjuntos son no vacíos, pues y . Además al considerar que están formados por elementos de la recta ampliada podemos obtener y (si está acotado inferiormente, el valor del ínfimo será real y si no lo está será . Para el caso de si está acotado superiormente, el valor será real y si no lo está será ). Con ellos formamos el intervalo abierto .

Si suponemos que existe otro intervalo abierto tal que , entonces, por definición de , habrá de ser . Se dice entonces que es un intervalo componente. Consideremos la colección de los intervalos componentes. Es claro que . Esta unión es disjunta ya que si e son elementos de y , entonces
.
Pero es un intervalo abierto (al ser su intersección no vacía) y, en consecuencia, . Análogamente, se prueba que . Por tanto, . Finalmente, consideremos el conjunto de los números racionales en la forma

En cada intervalo componente de habrá números racionales. La aplicación , definida por

es inyectiva, ya que si entonces existe un racional que pertenece a ambos intervalos y al ser éstos disjuntos concluimos que . Por tanto,

y la unión es numerable.

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