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Una demostración sobre sigma-álgebras generadas e imágenes inversas.

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Sean e dos conjuntos y sea una aplicación entre ellos. Si es una clase no vacía de partes de , tratamos de demostrar que la sigma-álgebra generada por la clase de las imágenes inversas de coincide con la imagen inversa de la sigma-álgebra generada por la clase . En símbolos

.

Sabemos que . Por tanto,

Ahora bien, sabemos que es una sigma-álgebra. Así que

Para probar la inclusión recíproca vamos a utilizar el método de los “conjuntos buenos”. Definimos la clase

Como y , la clase es no vacía. Además si pertenece a , tenemos que . Por tanto, . Sea perteneciente a  . Entonces , de donde

Esto prueba que pertenece a . Por otro lado, si es una familia numerable de elementos de , la familia es numerable y está formada por elementos de . Esto significa que y también

Hemos probado que es una sigma-álgebra por lo que . Pero, por definición, es . La doble inclusión lleva a la igualdad y así podemos afirmar que
,
lo que era nuestro objetivo al definir la clase . Esto termina la demostración.

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