Una demostración sobre sigma-álgebras generadas e imágenes inversas.

Sean X e Y dos conjuntos y sea f:X \rightarrow Y una aplicación entre ellos. Si \mathcal{C} es una clase no vacía de partes de Y, tratamos de demostrar que la sigma-álgebra generada por la clase de las imágenes inversas de \mathcal{C} coincide con la imagen inversa de la sigma-álgebra generada por la clase \mathcal{C}. En símbolos

\sigma(f^{-1}(\mathcal{C})) = f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})).

Sabemos que \mathcal{C} \subset \sigma(\mathcal{C}). Por tanto,
f^{-1}(\mathcal{C}) \subset f^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))
Ahora bien, sabemos que f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})) es una sigma-álgebra. Así que
\sigma(f^{-1}(\mathcal{C})) \subset f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})).
Para probar la inclusión recíproca vamos a utilizar el método de los “conjuntos buenos”. Definimos la clase
\mathcal{M} = \{ B \in \sigma(\mathcal{C}) : f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})) \}.
Como Y \in \sigma(\mathcal{C}) y f^{-1}(Y) = X \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})), la clase \mathcal{M} es no vacía. Además si C pertenece a \mathcal{C}, tenemos que f^{-1} (C) \in f^{-1}(\mathcal{C}) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C})). Por tanto, \mathcal{C} \subset \mathcal{M}. Sea B perteneciente a  \mathcal{M}. Entonces f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})), de donde
f^{-1}(Y-B) = X-f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C}))
Esto prueba que Y-B pertenece a \mathcal{M}. Por otro lado, si (B_{n})_{n} es una familia numerable de elementos de \mathcal{M}, la familia (f^{-1}(B_{n}))_{n} es numerable y está formada por elementos de \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})). Esto significa que \cup_{n} B_{n} \in \sigma(\mathcal{C}) y también
f^{-1}(\cup_{n} B_{n}) = \cup_{n} f^{-1}(B_{n}) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})).
Hemos probado que \mathcal{M} es una sigma-álgebra por lo que \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{M}. Pero, por definición, es \mathcal{M} \subset \sigma(\mathcal{C}). La doble inclusión lleva a la igualdad y así podemos afirmar que
f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C})),
lo que era nuestro objetivo al definir la clase \mathcal{M}. Esto termina la demostración.

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