MATEMATICAS.NET

Sobre sigma-álgebras y numerabilidad

Anuncios

Existe un resultado muy interesante sobre la no numerabilidad de las sigma-álgebra de conjuntos infinitas. He visto algunas demostraciones más o menos complicadas pero la que más me ha gustado es la que muestro a continuación.

En primer lugar, si es una sigma-álgebra infinita sobre un conjunto , dicho conjunto ha de ser infinito. En efecto, el conjunto de las partes de un conjunto finito es finito y resulta una sigma-álgebra que contiene a todas las sigma-álgebras sobre por lo que éstas han de ser también finitas. Sea pues un conjunto infinito y supongamos que existe una sigma-álgebra sobre  que es infinito numerable. Es inmediato que podemos tomar una familia infinito numerable de elementos de distintos dos a dos. Procedemos a formar con ella una nueva familia infinito numerable y disjunta de elementos de mediante

La aplicación , dada por

es inyectiva. Por tanto, y la sigma-álgebra no es numerable en contra de lo supuesto.

Anuncios