Sobre sigma-álgebras y numerabilidad

Existe un resultado muy interesante sobre la no numerabilidad de las sigma-álgebra de conjuntos infinitas. He visto algunas demostraciones más o menos complicadas pero la que más me ha gustado es la que muestro a continuación.

En primer lugar, si \mathcal{A} es una sigma-álgebra infinita sobre un conjunto X, dicho conjunto ha de ser infinito. En efecto, el conjunto 2^{X} de las partes de un conjunto X finito es finito y resulta una sigma-álgebra que contiene a todas las sigma-álgebras sobre X por lo que éstas han de ser también finitas. Sea pues X un conjunto infinito y supongamos que existe una sigma-álgebra \mathcal{A} sobre X que es infinito numerable. Es inmediato que podemos tomar una familia (A_{n})_{n} infinito numerable de elementos de \mathcal{A} distintos dos a dos. Procedemos a formar con ella una nueva familia infinito numerable y disjunta de elementos de \mathcal{A} mediante
B_{n} =\left\{ \begin{array}{c}  A_{1}, \quad \text{si} \quad n =1 \\  A_{n} - \cup_{k=1}^{n-1} A_{k}, \quad \text{si} \quad n \geq 2.\\  \end{array}  \right.
La aplicación f: 2^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathcal{A} , dada por
f(M) = \cup_{n \in M} B_{n}
es inyectiva. Por tanto, |2^{\mathbb{N}}| \leq |\mathcal{A}| y la sigma-álgebra no es numerable en contra de lo supuesto.

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