Más sobre anillos de conjuntos

Me surgió un problema relativo al carácter del producto cartesiano de anillos de conjuntos. Como no daba con la clave consulté en el estupendo foro del rincón matemático y Tanius fue muy amable al darme un contraejemplo.  Esta es la argumentación que he podido pergeñar:

Sean \mathcal{R}_{1} y \mathcal{R}_{2} anillos sobre X e Y, respectivamente. La clase \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2}, ¿es un anillo sobre X \times Y?
Todo anillo es semianillo por lo que es claro que \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} es un semianillo y contendrá al vacío y será cerrado para la intersección finita. Sin embargo, no siempre es un anillo como podemos ver mediante un contraejemplo. Sean
\mathcal{R}_{1} = \{ \emptyset,\{1\}, \mathbb{N}-\{1 \}, \mathbb{N} \},
\mathcal{R}_{2} = \{ \emptyset,\{2\}, \mathbb{N}-\{2 \}, \mathbb{N} \}.
Ambas clases son anillos sobre los naturales. La clase \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} contiene a los conjuntos (\mathbb{N}- \{1\}) \times (\mathbb{N} -\{2 \}) y \{(1,2) \}. Pero su unión es
A= (\{2,3, \ldots, n, \ldots \} \times \{1,3,4, \ldots, m, \ldots, \}) \cup \{(1,2) \}
Veamos que tal unión no pertenece al producto cartesiano de las clases. Los elementos de \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} son

\emptyset, \{(1,2)\}, \{1\} \times (\mathbb{N}- \{2\}), \{1\} \times \mathbb{N}, (\mathbb{N}-\{1\}) \times \{2\},
(\mathbb{N}-\{1\}) \times (\mathbb{N}-\{2\}), (\mathbb{N}-\{1\})\times \mathbb{N}, \mathbb{N} \times \{2\}, \mathbb{N} \times (\mathbb{N}- \{2\}),\mathbb{N} \times \mathbb{N}.

Pero el conjunto A no es ninguno de ellos como el lector puede comprobar. Así pues, el producto cartesiano de anillos (o de álgebras) no es siempre un anillo (o álgebra).

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