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Pensando sobre Cantor y las diagonales

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Leyendo sobre el método diagonal de Cantor se me ha ocurrido repasar en qué consiste y cuándo se puede utilizar. En primer lugar, observo que la mayoría de las demostraciones en las que se usa este método son por reducción al absurdo. Es decir, probamos algo viendo que es imposible su negación. Este tipo de razonamiento es suficientemente conocido y sólo cuestionado por una minoría. Al fin y al cabo se trata de una exigencia lógica al suponer cierto el principio del tercio excluso. En segundo lugar, observo que se usa sobre todo para conjuntos infinitos. Pero eso no significa que sea imposible usarlo para conjuntos finitos. Por ejemplo, consideremos el conjunto de signos binarios y formemos con ellos todas las cadenas de tres elementos. Resultarán
000
001
010
011
100
101
110
111
En total 8 posibilidades que representan los números en notación decimal 0,1,2,3,4,5,6,7, respectivamente. Ahora vamos a construir una cadena tomando como primer dígito uno distinto del primer dígito del primer elemento, como segundo dígito uno distinto del segundo dígito del segundo elemento y como tercer dígito uno distinto del tercer dígito del tercer elemento. Es decir . Esta cadena está en la lista pero no se halla entre las tres primeras (es la octava). Así pues, con dos dígitos, el método de Cantor nos permite construir una cadena de tres elementos que no se halla entre las tres primeras (o sea que hay más de tres cadenas). Probemos con longitudes mayores. Por ejemplo, cadenas de cinco elementos
00000
00001
00010
00011
00100
00110
00111
01000
01001
01010
01011
01100,
etcétera. Como tenemos cadenas de cinco elementos vamos a formar una nueva cadena de cinco elementos que tenga el primer dígito distinto del primer dígito de la primera cadena, el segundo distinto del segundo dígito de la segunda cadena y así sucesivamente, resulta  que es una cadena de cinco elementos que no se halla entre las cinco primeras. Generalizando, podemos probar que con los dígitos el número de cadenas que se pueden formar de elementos es siempre mayor que . Obsérvese que sólo he demostrado un hecho trivial que podría haberse demostrado de otra manera y que en absoluto he probado nada que tenga que ver con un conjunto infinito. Además para hacer la prueba he tomado una representación homogénea y no ambigüa de cierto conjunto finito de naturales. Es decir, una representación donde cada número tenía asociada una y sólo una cadena, el número de dígitos siempre era el mismo y se podía construir una diagonal. Vamos a extender ahora el razonamiento para un conjunto infinito. ¿Qué pasa si intento representar todos los naturales utilizando cadenas de ceros y unos? Supongamos que lo hago utilizando cadenas infinitas numerables de la forma ,
donde los son cero o uno. Esto me llevaría al viejo problema de las series infinitas. Para evitar paradojas debería en realidad escribir

donde los son cero o uno. ¿Converge siempre esta serie? La respuesta es no. Basta con tomar, por ejemplo, para . Así pues, no es correcto usar este tipo de representación pues da lugar a elementos no naturales. Convenimos entonces en representar los naturales en forma binaria mediante cadenas de longitud variable, pero ¿qué longitud? Por ejemplo, ¿usamos
0
01
0010
0011
100
o usamos
0
1
10
11
100 ?
En ninguno de los dos casos podemos utilizar el argumento diagonal de Cantor pues al fin y al cabo no tenemos una representación única de la que se pueda extraer una diagonal. Y eso es lo importante del método: la existencia de una representación homogénea única y la posibilidad de tomar una diagonal en esa representación. Resumiendo, la inexistencia de representación homogénea y unívoca de los naturales mediante ceros y unos me impide aplicarles el método diagonal de Cantor. Veamos ahora la clásica demostración sobre la no numerabilidad de los elementos del intervalo . Supongamos que cada elemento de dicho intervalo se escribe en la forma de una lista numerable de dígitos

donde cada un elemento del conjunto y no existe ninguno de ellos con una infinidad de nueves (esto se hace así para evitar situaciones del tipo 0,299999…= 0,30000….). Esta representación es unívoca y homogénea. Por tanto, si suponemos que el conjunto de los puntos de es numerable lo podremos poner en forma de sucesión





Tomando ahora con , , tenemos un elemento que no está en la lista. Para evitar esta contradicción, el intervalo no puede ser numerable.

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