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Ecuaciones recíprocas

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Consideremos ecuaciones de la forma

,

donde es un polinomio con coeficientes reales o complejos. Una ecuación de este tipo se llama recíproca si además de tener la raíz también tiene la raíz . Es evidente en esta definición, que una ecuación recíproca no puede tener como raíz el cero.

Existe una forma muy sencilla de reconocer una ecuación recíproca. Basta con advertir que cuando se pone en forma ordenada (es decir, como polinomio ordenado completo llenando las potencias faltantes con coeficientes nulos), entonces los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales o iguales y de signos contrarios. Por ejemplo

es una ecuación recíproca.  Sus soluciones son y . Se puede comprobar que los valores son inversos (recíprocos) uno del otro. Es decir, .

Para probar que esta propiedad de las ecuaciones recíprocas vamos a usar la relación general existente entre las raíces y los coeficientes de una ecuación polinómica del tipo que consideramos. Es decir, la llamada “ley de los coeficientes”.

Ley de los coeficientes: Sea una ecuación polinómica de grado con coeficientes complejos y . Sean sus raíces complejas, sin tener en cuenta su multiplicidad. Entonces

.

En el caso de que el grado de la ecuación recíproca sea impar tenemos que una de las raíces ha de ser 1 o -1 pues es el único valor que es igual a su recíproco. Teniendo en cuenta este detalle y la ley de los coeficientes, podemos operar las raíces de una ecuación recíproca y obtendremos la relación expuesta entre sus coeficientes. El cálculo general es laborioso por lo que daremos un ejemplo con una ecuación de cuarto grado:

Suponemos que . Sean y las raíces de esta ecuación. Entonces

.

Pero si y , entonces

.

Esto prueba que . Del mismo modo, partiendo de

,

resultará la expresión

.

Pero también tenemos

,

que al sustituir los valores como antes queda

,

que simplificado da lugar a

Es decir, . Por cierto, el valor de no tiene importancia para nuestro desarrollo pues queda justo “en medio” por lo que no tiene simétrico.

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