Ecuaciones recíprocas

Consideremos ecuaciones de la forma

P(x)= 0,

donde P(x) es un polinomio con coeficientes reales o complejos. Una ecuación de este tipo se llama recíproca si además de tener la raíz x también tiene la raíz \frac{1}{x}. Es evidente en esta definición, que una ecuación recíproca no puede tener como raíz el cero.

Existe una forma muy sencilla de reconocer una ecuación recíproca. Basta con advertir que cuando se pone en forma ordenada (es decir, como polinomio ordenado completo llenando las potencias faltantes con coeficientes nulos), entonces los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales o iguales y de signos contrarios. Por ejemplo

5x^{2} -2x+5 = 0

es una ecuación recíproca.  Sus soluciones son x_{1} = \frac{1}{5} (1-2i \sqrt(6)) y x_{2} = \frac{1}{5} (1+2i \sqrt(6)). Se puede comprobar que los valores son inversos (recíprocos) uno del otro. Es decir, x_{1} x_{2} = 1.

Para probar que esta propiedad de las ecuaciones recíprocas vamos a usar la relación general existente entre las raíces y los coeficientes de una ecuación polinómica del tipo que consideramos. Es decir, la llamada “ley de los coeficientes”.

Ley de los coeficientes: Sea P(x) =\sum_{k=0}^{n} a_{n-k} x^{k} =0 una ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos y a_{0} =1. Sean x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} sus n raíces complejas, sin tener en cuenta su multiplicidad. Entonces

\sum_{k=1}^{n} x_{k} = -a_{1}

\sum_{i,j=1, i \neq j}^{n} x_{i} x_{j} = a_{2}

\ldots

x_{1} x_{2} \cdots x_{n} = (-1)^{n} a_{n}.

En el caso de que el grado de la ecuación recíproca sea impar tenemos que una de las raíces ha de ser 1 o -1 pues es el único valor que es igual a su recíproco. Teniendo en cuenta este detalle y la ley de los coeficientes, podemos operar las raíces de una ecuación recíproca y obtendremos la relación expuesta entre sus coeficientes. El cálculo general es laborioso por lo que daremos un ejemplo con una ecuación de cuarto grado:

a_{0} x^{4} +a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3} x +a_{4} = 0

Suponemos que a_{0} = 1. Sean x_{1}, x_{2}, x_{3} y x_{4} las raíces de esta ecuación. Entonces

x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = (-1)^{4} a_{4}.

Pero si x_{2} = \frac{1}{x_{1}} y x_{3}= \frac{1}{x_{4}}, entonces

x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = x_{1} \frac{1}{ x_{1}} \frac{1}{x_{4}} x_{4} = 1= (-1)^{4} a_{4} .

Esto prueba que a_{0} = a_{4}. Del mismo modo, partiendo de

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = -a_{1},

resultará la expresión

x_{1}+ \frac{1}{x_{1}}+ \frac{1}{x_{4}} + x_{4}= -a_{1}.

Pero también tenemos

x_{1}x_{2}x_{3} + x_{1} x_{2} x_{4} +x_{2} x_{3} x_{4} + x_{1} x_{3} x_{4} = -a_{3},

que al sustituir los valores como antes queda

x_{1} \frac{1}{x_{1}} \frac{1}{x_{4}}+ x_{1} \frac{1}{x_{1}} x_{4} + \frac{1}{x_{1}} \frac{1}{x_{4}} x_{4}+x_{1} \frac{1}{x_{4}} x_{4},

que simplificado da lugar a

\frac{1}{x_{4}} +x_{4} +\frac{1}{x_{1}}+ x_{1}

Es decir, a_{1} = a_{3}. Por cierto, el valor de a_{2} no tiene importancia para nuestro desarrollo pues queda justo “en medio” por lo que no tiene simétrico.

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Un comentario en “Ecuaciones recíprocas

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