Demostración sobre producto cartesiano de semianillos de conjuntos

Sea X un conjunto no vacío. Una colección de subconjuntos de X es un semianillo sobre X si contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y además la diferencia de dos cualesquiera de los elementos de la colección resulta expresable mediante unión finita y disjunta de elementos de la misma colección.

Si queremos probar que dados \mathcal{S}_{1}, semianillo sobre X y \mathcal{S}_{2} semianillo sobre Y, su producto cartesiano

\mathcal{S}_{1} \times \mathcal{S}_{2} = \{ A \times B: A \in \mathcal{S}_{1}, B \in \mathcal{S}_{2} \} ,

es un semianillo sobre X \times Y, necesitamos hacer uso de una interesante propiedad de la diferencia de productos cartesianos. En concreto, necesitaremos probar que para A, C \in X y B,D \in Y, se tiene que

(A \times B)-(C \times D) = (A \times (B-D)) \cup ((A-C) \times B) .

He encontrado una interesante demostración en Proof Wiki.

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