Sobre la definición de conjunto infinito

La definición clásica de conjunto infinito es sencilla: un conjunto es infinito cuando no es finito. Es claro que llegado a este punto, la pregunta inmediata que nos hacemos es, ¿cuándo un conjunto es finito? Pues también existe una definición clásica y es la siguiente.

Un conjunto A es finito si es vacío o existe un subconjunto  S(n)= \{1,2, \ldots, n \} de \mathbb{N} y una biyección f  de A en S(n).

Sin embargo, existe otra definición menos conocida pero muy interesante atribuida a Dedekind:

Un conjunto A se dice que es finito tipo Dedekind o D-finito si no es posible encontrar ninguna biyección entre el conjunto A y cualquiera de sus subconjuntos propios. En caso contrario, se dirá que es infinito tipo Dedekind o D-infinito.

Utilizando la propiedad de buena ordenación de los naturales podemos probar que todo conjunto finito es D-finito.  Sin embargo, la única prueba que conozco de la equivalencia de que todo conjunto infinito es D-infinito precisa del axioma de elección.

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3 comentarios en “Sobre la definición de conjunto infinito

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