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Sobre cardinales de conjuntos

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Estoy resolviendo algunas cuestiones del texto “Selected Problems in Real Analysis” (Makarov, Goluzina, Lodkin, Podkorytov, Ed. AMS) y me he obligado a repasar conceptos y demostraciones que daba por hechas. Sobre todo demostraciones de cardinalidad y teoría de conjuntos. Por ejemplo, la demostración de que es equipotente a . Para ello existe una forma elegante utilizando el método diagonal de Cantor y una forma “menos elegante” utilizando el teorema de Cantor-Schröeder-Bernstein. Voy a pergeñar la segunda.

Consideremos la aplicación dada por . Es claro que se trata de una aplicación inyectiva pues si

,

entonces

lo que sólo es posible si . Por tanto, el cardinal de es menor o igual que el de . Por otro lado, la aplicación

dada por

es trivialmente inyectiva. En consecuencia, el cardinal de  es menor igual que el de .  Aplicando, teorema de Cantor-Schröder-Bernstein ambos cardinales son iguales.

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