Orden y operaciones (1)

Las estructuras de orden junto con las topológicas y algebraicas son fundamentales en todo el corpus matemático. En muchas ocasiones se enriquecen y necesitan unas a otras. Por ejemplo, existen topologías compatibles con el álgebra de los espacios vectoriales, órdenes que inducen topologías, etc.  En esta serie de entradas nos vamos a centrar en órdenes compatibles con estrucuturas algebraicas. Es decir, vamos a partir de un conjunto no vacío G donde hay definida una o varias operaciones y un orden. Trataremos de ver cómo es posible relacionar ambos conceptos y obtener de dicha relación una rica cosecha de resultados interesantes y extremadamente útiles.

En primer lugar, sea G un conjunto dotado de un orden parcial \leq y de una operación \bot. Como sabemos la operación no es más que una aplicación

f: G \times G \rightarrow G

que notamos mediante x \bot y en lugar de f(x,y). Por tanto, la compatibilidad con el orden más evidente sería exigir que para todos x,y \in G tales x \leq y y para todo z \in G se cumplan

(i) f(z,x) \leq f(z,y)

(ii) f(x,z) \leq f(y,z).

En otros términos que al operar por la izquierda o por la derecha con z cada uno de los miembros de la relación, ésta se conserva:

(a) zx \bot zy

(b) xz \bot yz .

Por ejemplo si (G, \bot) es un grupo y \leq una relación de orden en G, entonces exigiendo (a) y (b), obtenemos un grupo ordenado que notaremos por (G, \bot, \leq). No nos interesa considerar operaciones no conmutativas ya que cualquier desarrollo por la izquierda deberá tener su correspondiente por la derecha por pura simetría y resultaría farragoso además de poco práctico ya que la mayoría de estructuras con las que trabajaremos son conmutativas. Sea pues (G,+) un grupo abeliano. Decimos que es ordenado respecto a \leq si para todos x,y \in G tales que x \leq y y para todo z \in G es

x+z \leq y+z.

El lector observará que la notación para una operación conmutativa en un grupo es la de la suma (aunque la naturaleza de tal operación no sea la suma usual). Este convenio es muy útil y no induce a ningún error. Acabamos aquí este artículo. En el próximo daremos una condición equivalente a la de orden compatible con una estructura de grupo abeliano.

Para ampliar:

Wikipedia

Planet Math

Wikibooks

“Teoría de Clases y Conjuntos”, Marío de J. Pérez-Jiménez, Editorial EDUNSA.

“Groupes et Anneaux Réticulés”, A. Bigard, K. Keimel, S. Wolfenstein, SPRINGER-VERLAG.

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