,

, y también

;

existe un elemento tal que

para todo ;

dado siempre es posible hallar tal que

,

y finalmente se cumple que

y .

En cualquier anillo se precisa de la existencia de un cero (neutro aditivo). Por tanto, si tomamos un conjunto unitario y definimos en él dos operaciones como y , tendremos trivialmente un anillo donde el único elemento ( ) hace el papel del cero. Un ejemplo más interesante de anillo es el de los números enteros con la suma y el producto aritméticos. Dentro de los anillos podemos aplicar las reglas de cálculo habituales. Por ejemplo, si A es un anillo y  son elementos de dicho anillo, tenemos

Entendiendo que representa al opuesto de . La demostración de esta última desigualdad resulta clarificadora pues nos muestra los procesos sutiles con los que hemos de trabajar en álgebra abstracta. En efecto, tomamos y aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, la propiedad asociativa de la suma y la existencia de neutro aditivo, para obtener

Ahora sólo restaría sumar a ambos miembros el opuesto de para llegar a la igualdad pedida

El lector observará el especial cuidado con el que se han de usar las propiedades establecidas en el anillo y, sobre todo, cómo ha de evitarse la tentación de “abreviar” inspirándose en la familiaridad de los símbolos.

Si un anillo A tiene elemento neutro para el producto se llama anillo unitario. Dicho neutro multiplicativo se suele notar como , o simplemente 1 si no hay confusión. Para evitar trivialidades supondremos que en un anillo unitario hay al menos dos elementos diferentes: el uno y el cero.  Cuando el producto es conmutativo decimos que el anillo es conmutativo. La teoría de anillos es una rama del álgebra de profundas y extensas implicaciones. En próximas entradas intentaremos mostrar algunas ideas más sobre esta estructura.

Referencias:

Wikipedia (castellano)

Anillos y Cuerpos Conmutativos, José M. Gamboa, Jesús M. Ruíz, Cuadernos de la Uned

Wikipedia (inglés)

Álgebra, Roger Godement, Ed. Tecnos

Enlace:

http://www.dynamics.unam.edu/DinamicaNoLineal/BibliografiaUsada.html

Desorden

Consideremos un sistema formado por elementos , cada uno de los cuales puede adoptar un estado de posibles. Sea el número de elementos que se encuentra en el estado i-ésimo. La probabilidad de que un elemento elegido al azar se encuentre en dicho estado es (esto se consigue sin más que aplicar la regla de Laplace). Definimos la entropía como el valor

Pero… ¿por qué precisamente la función logaritmo? La justificación de esto la leí hace poco en el texto “Orden y Caos en sistemas complejos” cuyos autores son Ricard V. Solé y Susanna C. Manrubia (Ediciones UPC) y la transcribo aquí.
“En particular, se trata de emplear criterios de información para medir la entropía. De esta manera, si es un espacio muestral asociado a un determinado experimento aleatorio, podemos considerar una partición de dicho espacio mediante sucesos . Es decir,

y

, para .

Cuanto más improbable sea un suceso más información nos dará. Por tanto, podemos suponer que la información de dicho suceso cumple la igualdad donde es una función creciente y la probabilidad de . Es decir, la información es inversamente proporcional a la probabilidad de ocurrencia. Hasta aquí todo parece bien..pero ¿qué función puede ser ?. Para justificar nuestra elección de vamos a partir de un espacio muestral finito y equiprobable. Es decir, los sucesos tienen todos la misma probabilidad

La realización de experiencias independientes de este experimento permite considerar que la probabilidad de un evento de la forma es igual al valor

La información que tiene el evento sigue siendo inversamente proporcional a su probabilidad, luego

Finalmente, la información del suceso
es igual a veces la información de un cualesquiera (no olvidemos que estamos en un modelo donde todos los eventos tienen la misma probablilidad). Esto nos lleva a la ecuación

Una función creciente que permite estas transformaciones es la función logaritmo neperiano . Así pues definimos la información de un suceso (o autoinformación) como

En un sistema la información promedio será la entropía:

Más información:

Wikipedia

“Orden y Caos en sistemas Complejos”, Ricard V. Solé, Susanna C. Manrubia, Edicions UPC

En primer lugar, sea un conjunto dotado de un orden parcial y de una operación . Como sabemos la operación no es más que una aplicación

que notamos mediante en lugar de . Por tanto, la compatibilidad con el orden más evidente sería exigir que para todos tales y para todo se cumplan

(i)

(ii) .

En otros términos que al operar por la izquierda o por la derecha con cada uno de los miembros de la relación, ésta se conserva:

(a)

(b) .

Por ejemplo si es un grupo y una relación de orden en , entonces exigiendo (a) y (b), obtenemos un grupo ordenado que notaremos por . No nos interesa considerar operaciones no conmutativas ya que cualquier desarrollo por la izquierda deberá tener su correspondiente por la derecha por pura simetría y resultaría farragoso además de poco práctico ya que la mayoría de estructuras con las que trabajaremos son conmutativas. Sea pues un grupo abeliano. Decimos que es ordenado respecto a si para todos tales que y para todo es

.

El lector observará que la notación para una operación conmutativa en un grupo es la de la suma (aunque la naturaleza de tal operación no sea la suma usual). Este convenio es muy útil y no induce a ningún error. Acabamos aquí este artículo. En el próximo daremos una condición equivalente a la de orden compatible con una estructura de grupo abeliano.

Para ampliar:

Wikipedia

Planet Math

Wikibooks

“Teoría de Clases y Conjuntos”, Marío de J. Pérez-Jiménez, Editorial EDUNSA.

“Groupes et Anneaux Réticulés”, A. Bigard, K. Keimel, S. Wolfenstein, SPRINGER-VERLAG.