Consultorio Matemático (15)

Consulta: Un móvil parte de un punto de una circunferencia de 15 m de radio, siguiendo la dirección de la tangente en dicho punto, se desplaza durante 2 h a una velocidad de 20 m/h. ¿ A qué distancia del centro de la circunferencia se encontrará al cabo de dicho tiempo?
Respuesta:
Suponemos un movimiento rectilíneo y uniforme. En tal caso, la distancia al centro es la hipotenusa del triángulo que tiene por lados el radio y la trayectoria del móvil. El siguiente dibujo ilustra esta idea:

consu15

La distancia d es igual a la velocidad por el tiempo

d = 20 m/h \cdot 2 h = 40 m.

Por tanto,

x^2 = d^2 + 15^2 = 40^2+15^2,

x = \sqrt{40^2+15^2} m.

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Ecuaciones cúbicas (2)

Consideremos una ecuación cúbica reducida

x^3+px+q = 0,

donde p y q son diferentes de cero. En la entrada anterior hemos visto cómo podemos resolverla mediante una serie de cambios de variable y usando números complejos. Vamos a resumir todo ese trabajo en una expresión manejable. Consideramos los valores complejos

\alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}},

\beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}

Las soluciones se obtienen entonces mediante x = \alpha+\beta. Veamos una aplicación con el ejemplo de la entrada anterior (donde hemos cambiado la variable y por x para ajustarnos a la terminología empleada ahora):

x^3- \frac{1}{3}x -\frac{25}{27} =0.

Entonces p= -1/3 y q = -25/27, quedando

\alpha = \sqrt[3]{-\frac{-25/27}{2}+\sqrt{\frac{(-25/27)^2}{4}+\frac{(-1/3)^3}{27}}} = \sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}},

\beta = \sqrt[3]{-\frac{-25/27}{2}-\sqrt{\frac{(-25/27)^2}{4}+\frac{(-1/3)^3}{27}}} =\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}}.

Añadiendo las raíces cúbicas de la unidad obtenemos los resultados buscados

x_1 = \sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}},

x_2 =(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}) [\sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}}]+(-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2})[\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}}],

x_2 =(-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}) [\sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}}]+(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2})[\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}}],

Estos son los valores exactos pero podemos dar valores aproximados sin más que operar y redondear.

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Ecuaciones cúbicas (1)

En una entrada anterior del Consultorio Matemático se nos presentaba una ecuación polinómica de tercer grado con coeficientes reales. Ha llegado el momento de explicar el método más usado para su resolución por radicales.
Consideramos ecuaciones de la forma

Ax^3 +Bx^2+Cx+D = 0,

donde A, B, C y D son números reales y A \neq 0. Diremos que la ecuación está normalizada si A=1 y que está en forma reducida si está normalizada y B=0. Esto es, tiene la forma

x^3+cx+d = 0.

Toda ecuación cúbica normalizada puede llevarse a la forma reducida mediante el cambio de variable

x = y-\frac{B}{3}.

Por ejemplo, la ecuación cúbica normalizada x^3-2x^2+x-1=0 se transforma mediante el cambio x = y+\frac{2}{3} en

(y+2/3)^3-2(y+2/3)^2+(y+2/3)-1=0

que desarrollada convenientemente nos lleva a la forma reducida

y^3-\frac{1}{3}y - \frac{25}{27} = 0.

Una vez se halla en forma reducida pasamos a aplicar el cambio y = z-\frac{c}{3z}. En nuestro caso, y = z- \frac{-1/3}{3z} = z+\frac{1}{9z}, quedando

(z+\frac{1}{9z})^3-\frac{1}{3}(z+\frac{1}{9z}) - \frac{25}{27} =0,

que simplificada nos lleva a

z^3+\frac{1}{9^3 z^3}-\frac{25}{27}=0.

Esta ecuación puede hacerse bicuadrada fácilmente al multiplicar ambos miembros por z^3. Es decir,

z^6-\frac{25}{27}z^3+\frac{1}{9^3}=0.

Para resolver la ecuación bicuadrada hacemos z^3 = t y tenemos

t^2-\frac{25}{27} t+\frac{1}{9^3}=0,

cuyas soluciones son
t = \frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}, t= \frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}.
Ahora tenemos que “deshacer” los cambios. En primer lugar,

z =\sqrt[3]{t} = \epsilon \sqrt[3]{t},

siendo \epsilon la notación para las tres raíces cúbicas de la unidad en el cuerpo de los complejos. Era inevitable usar números complejos pero he intentado minimizar su “impacto”. Me limitaré a explicar cómo son las tres raíces de la unidad. En primer lugar, escribimos

1 = 1+0i = e^{0i}= 1 ( \cos 0 + i \sin 0).

Sus raíces son

1^{1/3} = \{ 1^{1/3} (\cos \frac{(0+2 k \pi)}{3}+ i \sin \frac{(0+2 k \pi)}{3}), k = 0,1,2 \}.

Es decir,

\epsilon = \{1, -\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \}.

Convenimos en que

\epsilon_1 = 1, \epsilon_2 =-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}, \epsilon_3 =-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}.

En consecuencia, tendremos

z =  \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}, z= \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}} .

y = z+\frac{1}{9z} =  \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+ \frac{1}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}} , y= z+\frac{1}{9z} = \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}} + \frac{1}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}.

Simplificamos las fracciones multiplicando por sus conjugados. En particular,

\frac{1}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}} = \frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{9 \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}(\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}})} =\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon} .

Sustituyendo de nuevo vemos que

y = \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon}

y = \epsilon \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon} .

Ahora deberíamos poner los tres valores de \epsilon para obtener seis soluciones. Sin embargo, teniendo en cuenta que \epsilon_2 \epsilon_3 =1 vemos que \epsilon_2 = \frac{1}{\epsilon_3}, de donde

y_1 =  \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}

y_2 =  \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}} .

y_3 = \epsilon_2\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon_3}

y_4 = \epsilon_2 \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon_3} .

y_5 = \epsilon_3 \sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}}{\epsilon_2}

y_6 = \epsilon_3 \sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}}{ \epsilon_2} .

Se aprecia pues que y_1=y_2, y_3=y_4 e y_5=y_6, quedando tres soluciones. La primera de ellas es la única real y vale

y =\sqrt[3]{\frac{25}{54} +\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54} -\frac{\sqrt{621}}{54}}.

Las otras dos son complejas y su cálculo es un poco más laborioso. Una vez obtenidas, debemos hacer el cambio final x = y+\frac{2}{3}.
Como el lector puede apreciar, este sistema de obtención de soluciones se presenta largo y complicado. Podemos simplificarlo un poco utilizando una fórmula. Pero esto lo veremos en la próxima entrada.

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Consultorio Matemático (14)

Consulta: ¿Para qué valores de m la ecuación
(m-1)((X^2)-2mX+m-2)=0
tiene dos raíces diferentes con signos negativos?
Respuesta: Voy a suponer que tu consulta se refiere a la ecuación

(m-1) x^2 - 2m x + (m-2) = 0.

donde m es un número real y que buscas sólo soluciones reales. Debes fijarte en el valor del discriminante

\Delta =4m^2 - 4 (m-1)(m-2)

Si este valor es mayor que cero entonces tiene dos raíces reales diferentes. Pero el problema nos pide que ambas sean negativas. Para la primera condición tenemos que

4m^2 - 4 (m-1)(m-2)= 4m^2-4m^2+12m-8 =12m-8 >0

m > \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.

Por tanto si m es un número real mayor que 2/3, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. Si queremos que sean negativas, entonces

2m -\sqrt{\Delta} <0

2m +\sqrt{\Delta} <0

Pero si m es mayor que 2/3 será positivo y al sumar con la raíz positiva del discriminante no dará lugar a número negativo. Por ello solo tenemos en cuenta la primera desigualdad y operamos con ella:

4m^2 < \Delta = 12m-8,

4m^2-12m+8 <0, m^2-3m+2 <0

Esta última inecuación tiene por solución el intervalo abierto (1,2). Como vemos en la siguiente gráfica (cortesía de wolframalpha.com).

MSP258521agbhdaigb0bh5500005cd1375eb8ehdb5b

Teniendo en cuenta las dos desigualdades obtenidas para m, vemos que si
\frac{2}{3} < m <1, se cumplen las condiciones pedidas. Por ejemplo, para m= 0,9 es (0,9-1) x^2 - 2 \cdot 0,9 x + (0,9-2) = 0, que da lugar a la ecuación

-0,1 x^2 -1,8 x -1,1=0

cuyas soluciones son diferentes y negativas.

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Consultorio Matemático (13)

Consulta: Las diagonales de un paralelogramo se cortan en los puntos medios. Una de las diagonales mide 8 cm y la otra mide 6 cm. y el angulo que se forma entre ellas es de 50 grados. Encuentra las medidas de los lados del paralelogramo.

Respuesta: Lo mejor es dibujar a partir de los datos:

paralelogramo

Si el ángulo formado entre las diagonales fuera de 50 grados sexagesimales, entonces el otro ángulo posible entre dichas diagonales sería de 130 grados como puedes apreciar a partir del dibujo. Si llamamos P al punto medio podemos formar los triángulos APB y BPC. De estos triángulos conocemos dos lados y el ángulo entre ellos por lo que podemos aplicar el teorema del coseno

triangulo1

y^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cos 130

Una operación similar hacemos con el triángulo BPC para hallar el valor de x.

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Consultorio Matemático (12)

Consulta: se tiene un segmento MN que intersecta al eje x y cuya longitud es igual a 13 unidades. Si M tiene como coordenadas a (3, -2) y la proyección de MN sobre el eje de abscisas es igual a 12. Halle las coordenadas del otro extremo del segmento.

Respuesta: Consideremos el vector \overline{MN}. Conocemos de dicho vector uno de sus extremos (M) y nos falta por conocer el otro (N). Ahora bien, como sabemos que su módulo es 13 (pues es la longitud del segmento MN), resulta que si N=(x,y), entonces

|\overline{MN}|=\sqrt{(x-3)^2 + (y+2)^2} = 13.

La proyección de un vector sobre el eje de abscisas se obtiene utilizando el producto escalar. Recordemos que si u y v son vectores, entonces la proyección de u sobre v es igual a proy_u (v) =|u| \cos \alpha, siendo \alpha el ángulo que forman entre ellos. Por tanto, u \cdot v = |u| |v| \cos \alpha = |v| (proy_u (v)) y en nuestro caso, llamando i al vector unitario que da la dirección del eje de abscisas, tenemos

\overline{MN} \cdot \overline{i} = |i| proy_{\overline{MN}}(i) = 1 \cdot 12 =12

Pero sabemos que

\overline{MN} \cdot \overline{i} = (x-3)\cdot 1 + (y+2) \cdot 0 = (x-3).

Luego

(x-3) =12.

Esto significa que x= 15 y de aquí

\sqrt{(12)^2 + (y+2)^2} = 13 ,

12^2 + (y+2)^2 = 13^2,

12^2 + (y+2)^2 = 13^2,

(y+2)^2 = 13^2-12^2 =(13-12)(13+12) = 25 ,

y+2 =  5, -5 ,

y =  3,-7 .

Tenemos entonces que N =(x,y) = (15,3), (15,-7).

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Ejercicios de Teoría de la Medida (3)

6. Sea \mathcal{M} una clase no vacía de subconjuntos de X y \mathcal{R}((\mathcal{M}) el anillo engendrado por \mathcal{M}. Demostrar que si A \in \mathcal{R}(\mathcal{M}), existen M_1, M_2, \ldots, M_n \in \mathcal{M} tales que A \subset \cup_{k=1}^{n} M_k.

Solución: El anillo engendrado por una clase de partes de X es el menor anillo (en sentido inclusivo) que contiene a dicha clase. Es decir, si \mathcal{R} es un anillo cualquiera sobre X que verifica \mathcal{M} \subset \mathcal{R}, entonces \mathcal{M} \subset \mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset \mathcal{R}. Consideremos ahora la clase \mathcal{S} formada por aquellos elementos de de \mathcal{R}(\mathcal{M}) que pueden recubrirse con un número finito de elementos de \mathcal{M}. Es decir, si A pertenece a \mathcal{S}, hallaremos M_1,M_2, \ldots, M_n \in \mathcal{M}, de forma que

A \subset \cup_{k=1}^{n} M_k.

Es inmediato que \mathcal{M} \subset \mathcal{S}. Probaremos que es un anillo sobre X. En efecto, si A y B son elementos de \mathcal{S} entonces existen recubrimientos finitos de A y B formados por elementos de \mathcal{M} por lo que la unión A \cup B se puede recubrir con la unión de los recubrimientos respectivos y tal unión tiene un número finito de elementos. Lo mismo ocurre con el conjunto A-B que al ser parte de A se puede recubrir con el número finito de conjuntos que recubren A.

Al ser \mathcal{S} un anillo que incluye a \mathcal{M} concluimos que \mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset \mathcal{S} por lo que \mathcal{S} = \mathcal{R}(\mathcal{M}) y esto prueba la condición buscada.

7. Sea X un conjunto no vacío y sea \mathcal{P} una clase de partes de X tal que si A,B \in \mathcal{P} entonces A \cup B y A \cap B pertenecen a \mathcal{P}. ¿Es \mathcal{P} un anillo sobre X?

Solución: En general no. Vamos a dar un contraejemplo. Sea X = \mathbb{R} y sea

\mathcal{P} = \{ \emptyset, \{0,1\}, \{0,1,2 \} \}.

Es fácil ver que la intersección y la unión de elementos de esta clase también pertenece a la misma clase (observemos que sus elementos se pueden disponer en una “cadena” por lo que las intersecciones serán los elementos inferiores y las uniones los superiores). Sin embargo, la diferencia

\{0,1,2 \}-\{0,1\} = \{2 \}

no pertenece a \mathcal{P}.

8. Dar un ejemplo de un anillo que no sea álgebra ni \sigma-anillo.

Solución: Sea X un conjunto infinito y sea \mathcal{R} la clase de las partes finitas de X. Dicha clase es no vacía pues el vacío es una parte finita de X por lo que \emptyset \in \mathcal{R}. Además como la unión de partes finitas es una parte finita y la diferencia de partes finitas también es una parte finita, concluimos que \mathcal{R} es un anillo sobre X. Sin embargo, no es un álgebra pues como X es infinito se sigue que X no pertenece a dicho anillo (y como sabemos un álgebra sobre X no es más que un anillo que contiene a X). Tampoco es un \sigma-anillo pues no es cerrado para la unión numerable. En efecto, sea N un subconjunto numerable de X (el cual existe en virtud del carácter infinito de X). Escribimos

N = \{x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots \}

La sucesión de conjuntos (\{x_i \})_{i=1}^{\infty} está formada por elementos de \mathcal{R} pero su unión es N y N no pertenece a \mathcal{R}.

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Consultorio Matemático (11)

Consulta: Un vector de sentido contrario al vector v=(3,-4) y que tenga el módulo el doble.
Respuesta: Primero calculamos el módulo del vector dado. Resulta

\sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt {9+16} =\sqrt{25} = 5.

Por tanto buscamos un vector de módulo 10 y que tenga sentido contrario al dado. Es decir, el ángulo entre ellos es de \pi radianes. Sea dicho vector (x,y), entonces

x^2+y^2 = 100.

El producto escalar entre dos vectores del espacio euclídeo puede darnos el ángulo entre ellos. Recordemos que si u,v son vectores, su producto escalar es u \cdot v  = |u| |v| \cos \theta, donde \theta es el ángulo mínimo formado entre ellos. Además, si u= (a,b) y v=(c,d), su producto escalar es u \cdot v = ac+bd. Teniendo en cuenta lo que sabemos, resulta

(x,y) \cdot (3, -4) = 3x-4y = 5 \cdot 10 \cos \pi = -50.
Así pues, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que pasamos a resolver:

x = \frac{1}{3} (4y-50)

(\frac{1}{3} (4y-50))^2+y^2 = 100

(\frac{1}{9} (16y^2-400y+2500)^2+y^2 = 100

16y^2-400y+2500+9y^2 = 900

25y^2-400y+1600 =0

Esta ecuación de segundo grado se resuelve utilizando la conocida fórmula y obtenemos una única solución y=8. Esto nos permite obtener el valor de x mediante

x = -6.

El vector buscado es el (x,y)=(-6,8). Pero existe una forma más “elegante” de resolver este problema utilizando números complejos. El vector (3.-4) se considera como el número complejo
z= r \exp^{i \theta} = r (\cos \theta + i \sin \theta),
donde r es el módulo de dicho vector y \theta es el ángulo menor de \pi radianes que forma dicho vector con el eje de abscisas. En este caso,
z = 5 \exp^{i \theta},
donde
\theta = \arctan \frac{-4}{3}.
Si le sumamos \pi radianes a este ángulo y ponemos por módulo 10 tenemos el vector buscado
w = 10 \exp^{i (\pi+\theta)}= 10 (\cos (\pi+\theta)+i \sin (\pi+\theta)) =
10 (-\cos \theta -i \sin \theta).
Como sabemos que \theta está en el IV cuadrante y que
\cos \theta = \sqrt{ \frac{1}{1+\tan^2 (\theta)}}
\sin \theta = \sqrt{1- \cos^{2} (\theta)},
tenemos que
\cos \theta = -\sqrt{ \frac{1}{1+\frac{16}{9}}}= -3/5,
\sin \theta = \sqrt{1-\frac{9}{25}} =4/5 ,
que sustituidas dan
w= 10 (-3/5 + i 4/5)= -6+8i = (-6,8).

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Ejercicios de Teoría de la Medida (2)

4. Sea \mathcal{R} una clase de subconjuntos de X, tal que E, F \in \mathcal{R} implica que E \cup F y E \Delta F pertenecen a \mathcal{R}. Demostrar que \mathcal{R} es un anillo sobre X.
Solución:
Bastará comprobar que

E \cap F = (E \cup F) \Delta (E \Delta F).

En efecto, podemos usar el método de las funciones características (que en este caso es bastante largo pero efectivo) para comprobar la igualdad y una vez comprobada basta recordar el resultado del problema 3 de la entrada (1) de ejercicios.

5. Demostrar que el conjunto de todas las partes de X es un anillo algebraico con las operaciones de diferencia simétrica e intersección.
Solución: En primer lugar, el conjunto \mathcal{P}(X) de las partes de X es cerrado para dichas operaciones. Debemos probar que respecto a la diferencia simétrica es un grupo, respecto a la intersección es un semigrupo y la intersección es distributiva respecto a la diferencia simétrica por ambos lados. Recordemos que la diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B se define como

A \Delta B = (A \cup B)- (A \cap B) = (A-B) \cup (B-A).

Sean A,B y C tres subconjuntos de X, probaremos que la diferencia simétrica es asociativa utilizando las funciones características.

\chi_{A \Delta (B \Delta C)} = \chi_{A}+\chi_{B \Delta C}-2 \chi_{A} \chi_{B \Delta C}=
\chi_{A}+\chi_B + \chi_C-2 \chi_B  \chi_C -2 (\chi_A (\chi_B+\chi_C - 2 \chi_B \chi_C))=
\chi_{A}+\chi_B + \chi_C-2 \chi_B  \chi_C -2 \chi_A \chi_B -2 \chi_A \chi_C +4 \chi_A \chi_B \chi_C =
\chi_{A}+\chi_B -2 \chi_A \chi_B + \chi_C -2 \chi_C (\chi_A +\chi_B -2 \chi_A \chi_B)= \chi_{A \Delta B}+ \chi_{C} -2 \chi_{C} \chi_{A \Delta B} = \chi_{(A \Delta B)\Delta C} .

Esto prueba que la diferencia simétrica es asociativa. También es conmutativa pues

\chi_{A \Delta B} = \chi_A + \chi_B - 2 \chi_A \chi_B = \chi_B+ \chi_A +2 \chi_B \chi_A = \chi_{B \Delta A}.

El elemento neutro de la diferencia simétrica es el vacío pues

A \Delta \emptyset = (A- \emptyset) \cup (\emptyset -A) = A.

Aquí hemos empleado la definición pues resulta más cómodo. Finalmente, cada A subconjunto de X verifica
A \Delta A = (A-A) \cup (A-A) = \emptyset
por lo que es su propio simétrico. En definitiva, (\mathcal{P}(X), \Delta) es un grupo abeliano con neutro \emptyset.
La asociatividad de la intersección es inmediata, además resulta una operación conmutativa y tiene por neutro al conjunto X. Finalmente,

\chi_{A  \cap (B \Delta C)} = \chi_{A} \chi_{B \Delta C} = \chi_{A} (\chi_B +\chi_C - 2 \chi_B \chi_C) =
\chi_A \chi_B + \chi_A \chi_C - 2(\chi_A \chi_B)(\chi_A \chi_C) = \chi_{(A \cap B) \Delta (A \cap C)}.

Deberíamos probar también que (A \Delta B) \cap C = (A \cap C) \Delta (B \cap C) pero al ser conmutativa la intersección no es necesario.

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Ejercicios de Teoría de la Medida (1)

1. Sean E y F dos conjuntos. Probar que

E \cup F = (E \Delta F) \Delta (E \cap F).

Solución: Tenemos dos opciones. Podemos probarlo en base en las definiciones de las operaciones conjuntistas o podemos usar las funciones características. Recordemos que la función característica \chi_A de un subconjunto A de X es una función real que tiene el valor 1 si x \in A y el valor cero si x \notin A. Además sabemos que dos funciones características \chi_A y \chi_B son iguales si y sólo si los conjuntos A y B son iguales y conocemos las igualdades básicas:

\chi_{A}^2 = \chi_{A},

\chi_{A \cup B} = \chi_{A}+\chi_{B} - \chi_{A} \chi_{B},

\chi_{A \cap B} = \chi_{A} \chi_{B},

\chi_{A - B} = \chi_{A}(1- \chi_{B}).

Por lo que un pequeño cálculo nos lleva a

\chi_{E \Delta F} = \chi_{E}+\chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F}.

Pasamos a la prueba en cuestión. Vamos ver qué resulta de

\chi_{(E \Delta F) \Delta (E \cap F)}.

Sólo hemos de desarrollar y el proceso es algo tedioso pero nos lleva a buen puerto:

\chi_{(E \Delta F) \Delta (E \cap F)} = \chi_{E \Delta F} + \chi_{E \cap F}                    - 2 \chi_{E \Delta F} \chi_{E \cap F} =
(\chi_{E} +\chi_{F}-2 \chi_{E} \chi_{F})+\chi_{E} \chi_{F}- 2((\chi_{E} +\chi_{F}-2 \chi_{E} \chi_{F})(\chi_{E} \chi_{F}))=
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 (\chi_{E}^2 \chi_{F}+\chi_{E} \chi_{F}^2-2 \chi_{E}^2 \chi_{R}^2) =
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 (\chi_{E} \chi_{F} +\chi_{E} \chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F})= \chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 \cdot 0 =
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} = \chi_{E \cup F}

2. Demostrar que

E - F = E \Delta (E \cap F).

Solución: Vamos a emplear el método de las funciones características. En este caso

\chi_{E \Delta (E \cap F)} = \chi_{E} +\chi_{E \cap F} - 2 \chi_{E} \chi_{E \cap F} =
\chi_{E} + \chi_{E} \chi_{F}- 2 ( \chi_{E} (\chi_{E} \chi_{F})) =
\chi_{E}+\chi_{E} \chi_{F} - 2 \chi_{E}^2 \chi_{F} =\chi_{E}+\chi_{E} \chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F}=
\chi_{E}-\chi_{E} \chi_{F} = \chi_{E} (1-\chi_{F}) = \chi_{E-F}.

3. Sea \mathcal{R} una clase no vacía de subconjuntos de X, tales que E,F \in \mathcal{R} implica que E \cap F y E \Delta F pertenecen a \mathcal{R}. Demostrar que \mathcal{R} es un anillo sobre X.
Solución: Recordemos que un anillo de subconjuntos de X es una clase no vacía de subconjuntos de X cerrada para la unión y la diferencia de cada par de sus elementos. Por tanto, bastará hacer uso de los resultados de los problemas anteriores pues,si E,F \in \mathcal{R}, entonces

E \cup F = (E \Delta F) \Delta (E \cap F) \in \mathcal{R},

E - F = E \Delta (E \cap F) \in \mathcal{R}.

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