Mathematicae

Interesante tutorial sobre Maxima

18/02/2009 de mathematicae

El profesor Javier Arántegui nos ofrece un tutorial en video sobre Maxima y su entorno gráfico wMaxima. Estas iniciativas son de agradecer pues nos muestran las posibilidades del software libre para un estudiante de matemáticas.

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Estructuras algebraicas (Anillos)

16/02/2009 de mathematicae

Consideremos un conjunto no vacío A, dotado de dos operaciones que convenimos en llamar suma y producto y en simbolizarlas como tales, aunque su naturaleza no sea la de las operaciones aritméticas usuales. Decimos que A es un anillo si respecto a la suma es un grupo conmutativo, respecto al producto es un semigrupo y el producto es distributivo respecto a la suma por ambos lados. Es decir, si para cualesquiera $x,y,z \in A$ es

$(x+y)+z = x+(y+z)$ ,

$x+y=y+x$ , y también

$x(yz) = (xy)z$ ;

existe un elemento $0 \in A$ tal que

$x+0 = 0+x = x$ para todo $x \in A$ ;

dado $x \in A$ siempre es posible hallar $y \in A$ tal que

$x+y = y+x = 0$ ,

y finalmente se cumple que

$x(y+z) = xy+xz$ y $(x+y)z = xz + yz$ .

En cualquier anillo se precisa de la existencia de un cero (neutro aditivo). Por tanto, si tomamos un conjunto unitario $A = \{a \}$ y definimos en él dos operaciones como $a+ a = a$ y $a a = a$ , tendremos trivialmente un anillo donde el único elemento ( $a$ ) hace el papel del cero. Un ejemplo más interesante de anillo es el de los números enteros $\mathbb{Z}= \{ \cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 , \cdots \}$ con la suma y el producto aritméticos. Dentro de los anillos podemos aplicar las reglas de cálculo habituales. Por ejemplo, si A es un anillo y $x, y, z$ son elementos de dicho anillo, tenemos

$(x -y ) z = xz -yz$

Entendiendo que $-y$ representa al opuesto de $y$ . La demostración de esta última desigualdad resulta clarificadora pues nos muestra los procesos sutiles con los que hemos de trabajar en álgebra abstracta. En efecto, tomamos $(x-y) z + y z$ y aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, la propiedad asociativa de la suma y la existencia de neutro aditivo, para obtener

$(x-y) z + y z = ((x-y) + y) z = (x+ (-y+y))z = (x+0) z = xz$

Ahora sólo restaría sumar a ambos miembros el opuesto de $yz$ para llegar a la igualdad pedida

$(x-y) z + y z -yz = xz -yz$

$(x-y)z = xz -yz$

El lector observará el especial cuidado con el que se han de usar las propiedades establecidas en el anillo y, sobre todo, cómo ha de evitarse la tentación de “abreviar” inspirándose en la familiaridad de los símbolos.

Si un anillo A tiene elemento neutro para el producto se llama anillo unitario. Dicho neutro multiplicativo se suele notar como $1_{A}$ , o simplemente 1 si no hay confusión. Para evitar trivialidades supondremos que en un anillo unitario hay al menos dos elementos diferentes: el uno y el cero. Cuando el producto es conmutativo decimos que el anillo es conmutativo. La teoría de anillos es una rama del álgebra de profundas y extensas implicaciones. En próximas entradas intentaremos mostrar algunas ideas más sobre esta estructura.

Referencias:

Wikipedia (castellano)

Anillos y Cuerpos Conmutativos, José M. Gamboa, Jesús M. Ruíz, Cuadernos de la Uned

Wikipedia (inglés)

Álgebra, Roger Godement, Ed. Tecnos

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Interesante texto sobre curvas algebraicas

13/02/2009 de mathematicae

El profesor William Fulton pone a disposición de forma gratuita su libro de introducción a la Geometría Algebraíca titulado “Algebraic Curves“.

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Algunos de mis apuntes

06/02/2009 de mathematicae

He localizado algunos de mis apuntes como bibliografía usada en el Laboratorío de Dinámica No Lineal de la UNAM. En concreto, unos apuntes de Cálculo de Probabilidades II y unas notas sobre Interpolación. No son gran cosa pero al menos alguien los considera dignos de ser leídos.

Enlace:

http://www.dynamics.unam.edu/DinamicaNoLineal/BibliografiaUsada.html

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Entropía

06/02/2009 de mathematicae

Desorden

Consideremos un sistema $E$ formado por $m$ elementos $x$ , cada uno de los cuales puede adoptar un estado $i$ de $n$ posibles. Sea $n_{i}$ el número de elementos que se encuentra en el estado i-ésimo. La probabilidad $p_{i}$ de que un elemento elegido al azar se encuentre en dicho estado es $p_{i}=\frac{n_{i}}{m}$ (esto se consigue sin más que aplicar la regla de Laplace). Definimos la entropía $H$ como el valor
$H = -\sum_{i=1}^{n} p_{i} \log(p_{i})$
Pero… ¿por qué precisamente la función logaritmo? La justificación de esto la leí hace poco en el texto “Orden y Caos en sistemas complejos” cuyos autores son Ricard V. Solé y Susanna C. Manrubia (Ediciones UPC) y la transcribo aquí.
“En particular, se trata de emplear criterios de información para medir la entropía. De esta manera, si $\Gamma$ es un espacio muestral asociado a un determinado experimento aleatorio, podemos considerar una partición de dicho espacio mediante sucesos $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ . Es decir,
$A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots A_{n} = \Gamma$

$A_{j} \cap A_{k} = \emptyset$ , para $j \neq k$ .

Cuanto más improbable sea un suceso $A_{k}$ más información nos dará. Por tanto, podemos suponer que la información $I$ de dicho suceso cumple la igualdad $I(A_{k}) = f(\frac{1}{p_{k}})$ donde $f$ es una función creciente y $p_{k}$ la probabilidad de $A_{k}$ . Es decir, la información es inversamente proporcional a la probabilidad de ocurrencia. Hasta aquí todo parece bien..pero ¿qué función puede ser $f$ ?. Para justificar nuestra elección de $f$ vamos a partir de un espacio muestral finito y equiprobable. Es decir, los sucesos $A_{i}$ tienen todos la misma probabilidad
$p(A_{i}) = \frac{1}{n}, i = 1,2, \cdots, n$

La realización de $m$ experiencias independientes de este experimento permite considerar que la probabilidad de un evento de la forma $A_{i_{1}} A_{i_{2}} \cdots A_{i_{m}}$ es igual al valor

$p(A_{i_{1}} A_{i_{2}} \dots A_{i_{m}}) = \frac{1}{n^{m}}$

La información que tiene el evento $A_{i_{1}} A_{i_{2}} \dots A_{i_{m}}$ sigue siendo inversamente proporcional a su probabilidad, luego
$I(A_{i_{1}} A_{i_{2} }\cdots A_{i_{m}}) = n^{m}$
Finalmente, la información del suceso $A_{i_{1}} A_{i_{2}} \dots A_{i_{m}}$
es igual a $m$ veces la información de un $A_{i_{k}}$ cualesquiera (no olvidemos que estamos en un modelo donde todos los eventos tienen la misma probablilidad). Esto nos lleva a la ecuación
$I(A_{i_{1}} A_{i_{2} }\cdots A_{i_{m}}) = n^{m} =m I(A_{i_{k}} )= m n$
Una función creciente que permite estas transformaciones es la función logaritmo neperiano $f(x) = \log(x)$ . Así pues definimos la información de un suceso (o autoinformación) como
$I(A_{k}) =\log( \frac{1}{p_{k}}) = - log (p_{k})$
En un sistema la información promedio será la entropía:
$H = \sum_{i=1}^{n} -\log(p_{i})p_{i} =-\sum_{i=1}^{n} p_{i} \log(p_{i})$

Más información:

Wikipedia

“Orden y Caos en sistemas Complejos”, Ricard V. Solé, Susanna C. Manrubia, Edicions UPC

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Orden y operaciones (1)

03/02/2009 de mathematicae

Las estructuras de orden junto con las topológicas y algebraicas son fundamentales en todo el corpus matemático. En muchas ocasiones se enriquecen y necesitan unas a otras. Por ejemplo, existen topologías compatibles con el álgebra de los espacios vectoriales, órdenes que inducen topologías, etc. En esta serie de entradas nos vamos a centrar en órdenes compatibles con estrucuturas algebraicas. Es decir, vamos a partir de un conjunto no vacío $G$ donde hay definida una o varias operaciones y un orden. Trataremos de ver cómo es posible relacionar ambos conceptos y obtener de dicha relación una rica cosecha de resultados interesantes y extremadamente útiles.

En primer lugar, sea $G$ un conjunto dotado de un orden parcial $\leq$ y de una operación $\bot$ . Como sabemos la operación no es más que una aplicación

$f: G \times G \rightarrow G$

que notamos mediante $x \bot y$ en lugar de $f(x,y)$ . Por tanto, la compatibilidad con el orden más evidente sería exigir que para todos $x,y \in G$ tales $x \leq y$ y para todo $z \in G$ se cumplan

(i) $f(z,x) \leq f(z,y)$

(ii) $f(x,z) \leq f(y,z)$ .

En otros términos que al operar por la izquierda o por la derecha con $z$ cada uno de los miembros de la relación, ésta se conserva:

(a) $zx \bot zy$

(b) $xz \bot yz$ .

Por ejemplo si $(G, \bot)$ es un grupo y $\leq$ una relación de orden en $G$ , entonces exigiendo (a) y (b), obtenemos un grupo ordenado que notaremos por $(G, \bot, \leq)$ . No nos interesa considerar operaciones no conmutativas ya que cualquier desarrollo por la izquierda deberá tener su correspondiente por la derecha por pura simetría y resultaría farragoso además de poco práctico ya que la mayoría de estructuras con las que trabajaremos son conmutativas. Sea pues $(G,+)$ un grupo abeliano. Decimos que es ordenado respecto a $\leq$ si para todos $x,y \in G$ tales que $x \leq y$ y para todo $z \in G$ es

$x+z \leq y+z$ .

El lector observará que la notación para una operación conmutativa en un grupo es la de la suma (aunque la naturaleza de tal operación no sea la suma usual). Este convenio es muy útil y no induce a ningún error. Acabamos aquí este artículo. En el próximo daremos una condición equivalente a la de orden compatible con una estructura de grupo abeliano.

Para ampliar:

Wikipedia

Planet Math

Wikibooks

“Teoría de Clases y Conjuntos”, Marío de J. Pérez-Jiménez, Editorial EDUNSA.

“Groupes et Anneaux Réticulés”, A. Bigard, K. Keimel, S. Wolfenstein, SPRINGER-VERLAG.

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