La diferencia de conjuntos (3)

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Vamos a dar algunas propiedades más de la diferencia de conjuntos. En primer lugar, tenemos que si $A,B$ y $C$ son subconjuntos de $X$ , entonces

(5) $(A \cup B)- C = (A-C) \cup (B-C)$ .

Para probar esta afirmación volvemos a usar la relación $A-B = A \cap B'$ , donde $B'$ representa el complementario de $B$ . Así pues,

$(A \cup B)-C = (A \cup B) \cap C' = (A \cap C') \cup (B \cap C') =$

$(A-C) \cup (B-C)$ .

Tenemos también que

(6) $(A \cap B) -C =(A-C) \cap (B-C)$ .

Para probar esto necesitamos algo más de inventiva. Así vemos que

$(A \cap B)-C = (A \cap B) \cap C' = A \cap B \cap C' \cap C' =$

$(A \cap C') \cap (B \cap C') = (A-C) \cap (B-C)$ .

Ahora consideremos familias de conjuntos: $(A_i)_{i \in I}$ , $(B_j)_{j \in J}$ . En particular,

(7) $(\cup_{i \in I} A_i) - B= \cup_{i \in I} (A_i - B)$ ,

(8) $(\cap_{i \in I} A_i) - B =\cap_{i \in I} (A_i - B)$ .

Vamos a probar la primera de estas igualdades

$(\cup_{i \in I} A_i)-B = (\cup_{i \in I} A_i) \cap B' =$

$\cup_{i \in I} (A_i \cap B') = \cup_{i \in I} (A_i -B)$ .

La demostración de (8) es análoga. Para terminar, planteamos las operaciones

(9) $\cup_{i \in I} A_i - \cup_{j \in J} B_j$

(10) $\cap_{i \in I} A_i - \cap_{j \in J} B_j$

y sugerimos al lector que las desarrolle a la luz de lo visto en estas entradas.

Diferencia de conjuntos (2)

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Vamos a dar las demostraciones de una serie de interesantes propiedades de la diferencia de conjuntos.

(1). Sean $A,B$ y $C$ tres subconjuntos de $X$ , entonces

$(A-B)- C = A- (B \cup C)$ .

En efecto, si $A'$ es el complementario de $A$ , tenemos que

$(A-B)-C = (A \cap B') \cap C' = A \cap (B' \cap C')$ ,

y aplicando las leyes de De Morgan,

$A \cap (B' \cap C') = A \cap (B \cup C)' = A -(B \cup C)$ .

Sin embargo, es

(2) $A-(B-C) = (A-B) \cup (A \cap C)$ .

La demostración es análoga a la anterior. Más interesantes son las igualdades donde intervienen uniones e intersecciones de familias de subconjuntos de $X$ . Así si $(A_i)_{i \in I}$ es una familia de partes de $X$ y $A \subset X$ , entonces

(3) $A - \cup_{i \in I} A_{i} = \cap_{i \in I} (A-A_i)$ ,

(4) $A -\cap_{i \in I} A_i = \cup_{i \in I}(A-A_i)$ .

En efecto, tenemos que

$A- \cup_{i \in I} A_i = A \cap (\cup_{i \in I} A_i)' = A \cap ( \cap_{i \in I} A_i') =\cap_{i \in I} (A \cap A_i')= \cap_{i \in I} (A- A_i)$ .

La demostración de (4) es análoga.

La diferencia de conjuntos (1)

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Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , su diferencia $A-B$ o complemento relativo de $A$ a $B$ es el conjunto

$\{ x \in A : x \notin B \}$ .

Al tratarse de un subconjunto de $A$ , los axiomas de la teoría de conjuntos nos dicen que existe como tal y no necesitamos un marco más amplio para definirla. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones consideramos dos subconjuntos $A$ y $B$ de un conjunto dado $X$ . En tal caso, la diferencia es un subconjunto de $X$ y su definición es la misma

$A-B = \{x \in X : x \in A, x \notin B \}$ .

Esta segunda interpretación es la que vamos a tomar para dar una serie de propiedades. En primer lugar,

$A-A = \emptyset$ .

Propiedad de inmediata demostración. Por otro lado, en general

$A-B \neq B-A$ .

Las propiedades más interesantes se dan cuando tenemos en cuenta la relación de la diferencia con otras operaciones de conjuntos como la unión, la intersección y el paso al complementario. Así tenemos que el complementario de $A$ en relación a $X$ es

$A' = X -A$ ,

y esto nos permite definir

$A-B = A \cap B'$ .

Esta igualdad nos va a ser muy útil para las siguientes demostraciones.

Bases de Filtro (2)

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Vamos a continuar con algunas propiedades de las bases de filtro. En primer lugar, veremos que se conservan a través de las aplicaciones.
Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vacíos. Sea $\mathcal{H}$ una base de filtro sobre $X$ y sea $f$ una aplicación de $X$ en $Y$ . Afirmamos que la clase
$f(\mathcal{H}) = \{f(A) : A \in \mathcal{H} \}$
es una base de filtro sobre $Y$ .
En primer lugar, la clase $\mathcal{H}$ es no vacía por lo que $f(\mathcal{H})$ será no vacía. Además como el vacío no pertenece a $\mathcal{H}$ , se sigue que para todo $A$ de $\mathcal{H}$ es $f(A)$ no vacío y, por tanto, la clase $f(\mathcal{H})$ no contiene al vacío. Sean $U$ y $V$ elementos de $f(\mathcal{H})$ . Hallaremos $A$ y $B$ de $\mathcal{H}$ , tales que $U = f(A)$ y $V = f(B)$ . Además, como $\mathcal{H}$ es una base de filtro, existe $C$ en $\mathcal{H}$ , no vacío, tal que $C \subset A \cap B$ . El conjunto $W = f(C)$ es no vacío, pertenece a $f(\mathcal{H})$ y verifica
$W= f(C) \subset f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) = U \cap V$ .
Esto termina la demostración.
Por otro lado, supongamos que $X$ e $Y$ son dos conjuntos no vacíos. y $\mathcal{J}$ es una familia fundamental sobre $Y$ y $f$ una aplicación de $X$ en $Y$ . Si para todo $B$ de $\mathcal{J}$ es $B \cap f(X)$ no vacío, entonces la clase de las imágenes inversas $f^{-1}(\mathcal{J}) = \{ f^{-1} (B) : B \in \mathcal{J} \}$ es una familia fundamental sobre $X$ . Veamos la prueba. Sean $A_{1}, A_{2}$ dos elementos de $f^{-1}(\mathcal{J})$ . Hallaremos dos conjuntos $B_{1}, B_{2} \in \mathcal{J}$ , tales que $A_{1}= f^{-1}(B_{1}),A_{2}= f^{-1}(B_{2})$ . Entonces

$A_{1} \cap A_{2} = f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}) = f^{-1} (B_{1} \cap B_{2})$ .

Pero como $\mathcal{J}$ es una familia fundamental, sabemos que existe $B_{3} \in \mathcal{J}$ con $B_{3} \subset B_{1} \cap B_{2}$ , por lo que

$f^{-1} (B_3) \subset f^{-1}(B_1 \cap B_2) = A_1 \cap A_2$
Si la intersección $A_{1} \cap A_{2}$ fuera vacía, entonces como $B_{1} \cap B_{2} \cap f(X) \neq \emptyset$ , concluiríamos que la intersección $B_{1} \cap B_{2}$ es vacía pues en otro caso su imagen inversa no sería vacía. Así pues, $B_{3} = \emptyset$ y $f^{-1} (B_{3}) = \emptyset$ . Para acabar, si la intersección $A_{1} \cap A_{2}$ no fuera vacía, entonces el conjunto $B_{1} \cap B_{2}$ es no vacío y también son $B_{3}$ y $A_{3} = f^{-1} (B_{3})$ no vacíos.

En el teorema anterior, la condición de corte de todo $B \in \mathcal{J}$ con el recorrido de la aplicación $f: X \rightarrow Y$ es esencial. En efecto, podemos asegurar en esas circunstancias que el vacío se obtiene sólo como imagen inversa del vacío.

Bases de Filtro (1)

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Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $\mathcal{P}(X)$ el conjunto de todas sus partes (subconjuntos). Una clase no vacía $\mathcal{H}$ de partes de $X$ es una familia fundamental sobre $X$ si para para cualesquiera $A$ y $B$ pertenecientes a $\mathcal{H}$ existe al menos un elemento $C$ de $\mathcal{H}$ tal que $C \subset A \cap B$ , siendo $C$ no vacío si la intersección es no vacía.
Es decir, una familia fundamental se caracteriza porque la intersección de dos cualesquiera de sus elementos contiene a otro de sus elementos y si tal intersección es no vacía, entonces el elemento de la familia contenido en la intersección es también no vacío. Obsérvese que si $\mathcal{H}$ es una familia fundamental que no contiene al vacío, entonces $\mathcal{H} \cup \{\emptyset \}$ es también una familia fundamental. En efecto, ahora las intersecciones vacías se obtienen de la forma $A \cap B$ , donde $A$ o $B$ o ambos son vacíos y, obviamente, el vacío está incluido en dicha intersección.

Un tipo especialmente importante de familia fundamental es la base de filtro. Una familia fundamental sobre $X$ es una base de filtro sobre $X$ si no contiene al vacío. Si $\mathcal{H}$ es una base de filtro sobre $X$ , entonces es claro que la intersección de dos cualesquiera de sus elementos ha de contener a un tercero de ellos no vacío. Por tanto, la intersección de elementos de la familia no es nunca vacía.

Estructura de los anillos de Boole generados por una clase no vacía

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Supongamos que $\mathcal{M}$ es una clase no vacía de partes de un conjunto $X$ . Denotamos por $\mathcal{R}(\mathcal{M})$ al anillo de Boole generado por dicha clase. Sabemos que dicho anillo siempre existe y es el mínimo en sentido inclusivo que contiene a la clase $\mathcal{M}$ , pero ¿podemos dar alguna caracterización de cómo se forma? En principio, si la clase $\mathcal{M}$ es un semianillo, sabemos que $\mathcal{R}(\mathcal{M})$ es el conjunto de las uniones finitas disjuntas de elementos de $\mathcal{M}$ pero me temo que en el caso general no hay una forma clara de obtenerlo. El siguiente resultado esboza una forma que admito que no es muy práctica pero puede ser útil para algunos casos.

Sea la clase no vacía $\mathcal{M}$ . Llamaremos $H_0$ a dicha clase y supondremos que $\emptyset \in H_0$ . La clase $H_1$ es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de $H_0$ , la clase $H_2$ es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de $H_1$ y así sucesivamente. Obtenemos pues una sucesión recurrente $H_n$ de clases. Como $H_0$ es no vacía. Dado $A \in H_0$ es $A-\emptyset = A$ un elemento de $H_1$ . Análogamente, si $B$ es un elemento de $H_1$ , entonces $B-\emptyset = B \in H_2$ y así $H_0 \subset H_1 \subset H_2$ . En general,

$H_0 \subset H_1 \subset H_2 \subset \ldots \subset H_n \subset H_{n+1} \subset \ldots$ .

Probaremos que la unión

$S = \cup_{n=0}^{\infty} H_n$

es el anillo generado por $\mathcal{M}$ . En primer lugar, es claro que

$\mathcal{M} \subset \cup_{n=0}^{\infty} H_n \subset \mathcal{R} (\mathcal{M})$ ,

pues por definición $H_0 = \mathcal{M}$ y además todo anillo es cerrado para la unión finita y la diferencia de sus elementos. En segundo lugar, si $C$ y $D$ son elementos de $S$ , hallaremos que pertenecen a ciertos $H_j$ y $H_k$ de la sucesión creciente. Por tanto, si $r = \max \{j,k \}$ , ambos pertenecerán a $H_{ r }$ . En consecuencia,

$C-D \in H_{r+1} \subset S$ ,

$C \cup D = (C- \emptyset) \cup (D- \emptyset) \in H_{r+1} \subset S$ .

Esto prueba que $S$ es cerrado para la diferencia y la unión finita y, por tanto, es un anillo. Así pues

$\mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset S$

y esta inclusión junto con la anterior nos muestra que

$\mathcal{R}(\mathcal{M}) = S$ .

Sobre semianillos de conjuntos y operaciones finitas

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Una clase o familia de partes de un conjunto $X$ es un semianillo si contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y la diferencia de dos de sus elementos se puede expresar como unión finita disjunta de elementos de la misma clase. Un ejemplo de semianillo muy utilizado es el de la clase de los intervalos de la recta real de la forma

$]a,b]$ ,

donde $a$ y $b$ son números reales con $a \leq b$ . Otro ejemplo de semianillo es el de los intervalos

$[a,b[$

y también es un semianillo la clase de todos los intervalos (abiertos, cerrados, semiabiertos, vacíos, acotados, no acotados, etc.). Sin embargo, la clase

$\mathcal{C} = \{ [a,b] : a \leq b \} \cup \emptyset$

no es un semianillo. Basta ver que si $a < c <b < d$ , entonces

$[a,b]-[c,d] = [a,c[$

y $[a,c[$ no puede expresarse como unión finita y disjunta de intervalos cerrados. Sin embargo, sí puede expresarse como unión numerable de intervalos cerrados aunque no disjunta. Basta observar que

$\cup_{n=1}^{\infty} [a, c-\frac{1}{n}] = [a,c[$ .

Yendo un paso más allá podríamos preguntarnos si es posible encontrar una sucesión disjunta de intervalos cerrados cuya unión fuera el intervalo $[a,c[$ .

Mathematicae

Un experimento de Antonio Luis

La diferencia de conjuntos (3)

Diferencia de conjuntos (2)

La diferencia de conjuntos (1)

Bases de Filtro (2)

Bases de Filtro (1)

Estructura de los anillos de Boole generados por una clase no vacía

Sobre semianillos de conjuntos y operaciones finitas

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